Enunciado

Encontre f .

f^(' ') (x) = 1 + x^(4 // 5)

Passo 1

Queremos achas a funções f ( x ) tais que f^(' ') (x) = 1 + x^(4 // 5) . Vamos fazer isso aplicando a antiderivada duas vezes, primeiro encontrando f ' ( x ) e depois f . Para potências de x com expoente diferente de -1 o resultado para a antiderivada é:

f^' ( x ) = x^n => f (x) = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Então, aplicando duas vezes a partir de f ' ' ( x ) encontraremos f ( x ) .

Passo 2

Aplicamos primeiro para encontrar f ' ( x ) :

f^(' ') (x) = 1 + x^(4 // 5)

=> f^' (x) = x + (x^(9 // 5))/((9)/(5)) + C = x + (5)/(9) x^(9 // 5) + C

Passo 3

Então fazemos de novo. Agora introduziremos uma outra constante qualquer D :

f^' (x) = x + (5)/(9) x^(9 // 5) + C

f (x) = (x^2)/(2) + (5)/(9) ((x^(14 // 5))/((14)/(5))) + C x + D = (x^2)/(2) + (25)/(126) x^(14 // 5) + C x + D

Resposta

f (x) = (x^2)/(2) + (25)/(126) x^(14 // 5) + C x + D

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