Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 3
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.)
Passo 1
Queremos achar as funções tais que . Para polinômios, basta aplicar o processo inverso do método de derivação. Para derivar descemos o e diminuímos 1 no expoente, ficando . Então para aplicar a antiderivada primeiro somamos 1 no expoente e dividimos pelo expoente resultante:
Podemos ver que derivando vamos de fato obter , pois quando descermos o ele vai cancelar com o de baixo e diminuindo 1 no expoente fica . Temos que prestar atenção pois o processo não funciona para . Nesse caso, temos a antiderivada de , que é igual a pois (temos que colocar o módulo por não existe logaritmo de número negativo!).
Voltando ao nosso resultado, deevemos também acrescentar uma constante na antiderivada, pois existem infinitas antiderivadas para cada função, já que se derivarmos e , por exemplo, temos em ambos os casos , já que o valor que não depende de vai zerar. Então:
Passo 2
Agora aplicamos o método para o polinômio:
Passo 3
Derivando, podemos verificar o resultado:
Então é de fato a antiderivada de .