Enunciado

Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.)

f x = 1 - x 3 + 5 x 5 - 3 x 7

Passo 1

Queremos achar as funções F ( x ) tais que F ' x = f ( x ) . Para polinômios, basta aplicar o processo inverso do método de derivação. Para derivar x n descemos o n e diminuímos 1 no expoente, ficando n x n - 1 . Então para aplicar a antiderivada primeiro somamos 1 no expoente e dividimos pelo expoente resultante:

f x = x m ⇒ F x = x m + 1 m + 1

Podemos ver que derivando F ( x ) vamos de fato obter x m , pois quando descermos o m + 1 ele vai cancelar com o de baixo e diminuindo 1 no expoente fica m . Temos que prestar atenção pois o processo não funciona para m = - 1 . Nesse caso, temos a antiderivada de 1 x , que é igual a ln ⁡ | x | pois ln ⁡ x ' = 1 / x (temos que colocar o módulo por não existe logaritmo de número negativo!).

Voltando ao nosso resultado, deevemos também acrescentar uma constante C na antiderivada, pois existem infinitas antiderivadas para cada função, já que se derivarmos 2 x 2 + 1 e 2 x 2 + 3 , por exemplo, temos em ambos os casos 4 x , já que o valor que não depende de x vai zerar. Então:

f x = x m ⇒ F x = x m + 1 m + 1 + C       ( m ≠ - 1 )

Passo 2

Agora aplicamos o método para o polinômio:

f x = 1 - x 3 + 5 x 5 - 3 x 7

⇒ F x = x 1 - x 4 4 + 5 x 6 6 - 3 x 8 8 + C

⇒ F x = x - x 4 4 + 5 6 x 6 - 3 8 x 8 + C

Passo 3

Derivando, podemos verificar o resultado:

F ' x = 1 - 1 4 4 x 3 + 5 6 6 x 5 - 3 8 8 x 7 = 1 - x 3 + 5 x 5 - 3 x 7 = f ( x )

Então F ( x ) é de fato a antiderivada de f ( x ) .

Resposta

F x = x - x 4 4 + 5 6 x 6 - 3 8 x 8 + C

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