Enunciado

Gerentes de lojas querem uma política de estoque ótima. Excesso de estoque resulta em armazenagem excessiva e custos de estoque, enquanto que um estoque pequeno significa adicionar custo à reorganização de entrega. Um gerente de um supermercado estima que um total de 800 pacotes de sopa serão vendidos a uma taxa constante durante o próximo ano e o custo de estoque será de $ 4 para armazenar um pacote por ano. Se o gerente fizer vários pedidos por ano, cada um consistindo de x pacotes, então ele terá uma média de 1 2 x pacotes em estoque no ano e assim os custos de armazenagem para o ano são 1 2 x ⋅ 4 = 2 x dólares. Ele também estima que o custo de manuseio para cada entrega é de $ 100,00 . Qual é a quantidade ótima a ser feita em cada pedido de tal forma a minimizar o custo total?

Passo 1

O custo total é será a soma do custo de armazenagem e do custo das entregas. O custo de armazenagem é igual a 2 x como dito no enunciado. O custo de entrega deve ser calculado multiplicando o preço de cada entrega, de $   100,00 , pelo número de entregas. O total de pacotes entregues é 800, divididos em grupos de x pacotes, então o número de entregas é:

800 x   e n t r e g a s

Multipicando por $   100,00 chegamos ao custo das entregas no ano, então o custo total é:

C x = 2 x + 100 ⋅ 800 x = 2 x + 80000 x

Então devemos minimizar essa função para x > 0 .

Passo 2

Teremos um ponto crítico da função quando a derivada for zero ou não existir. Derivando C ( x ) :

C ' x = 2 + 80000 - 1 x 2 = 2 - 80000 x 2

Essa derivada existe para todo x positivo, então igualamos a zero:

2 - 80000 x 2 = 0

⇒ 2 = 80000 x 2

⇒ x 2 = 40000

⇒ x = 200   p a c o t e s   p o r   p e d i d o

Para checarmos se temos para esse valor um mínimo da função, olhamos a segunda derivada:

C ' ' x = - 80000 - 1 2 x 3 = 40000 x 3

Esse valor é positivo para qualquer x positivo, então a concavidade da função é para cima e temos para x = 200 um valor mínimo. O número de pedidos é então:

800 200 = 4   p e d i d o s   n o   a n o

Resposta

4 pedidos de 200 pacotes cada.

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