Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.8 - Ex. 23
Gerentes de lojas querem uma política de estoque ótima. Excesso de estoque resulta em armazenagem excessiva e custos de estoque, enquanto que um estoque pequeno significa adicionar custo à reorganização de entrega. Um gerente de um supermercado estima que um total de 800 pacotes de sopa serão vendidos a uma taxa constante durante o próximo ano e o custo de estoque será de $ 4 para armazenar um pacote por ano. Se o gerente fizer vários pedidos por ano, cada um consistindo de pacotes, então ele terá uma média de pacotes em estoque no ano e assim os custos de armazenagem para o ano são dólares. Ele também estima que o custo de manuseio para cada entrega é de . Qual é a quantidade ótima a ser feita em cada pedido de tal forma a minimizar o custo total?
Passo 1
O custo total é será a soma do custo de armazenagem e do custo das entregas. O custo de armazenagem é igual a como dito no enunciado. O custo de entrega deve ser calculado multiplicando o preço de cada entrega, de , pelo número de entregas. O total de pacotes entregues é 800, divididos em grupos de pacotes, então o número de entregas é:
Multipicando por chegamos ao custo das entregas no ano, então o custo total é:
Então devemos minimizar essa função para .
Passo 2
Teremos um ponto crítico da função quando a derivada for zero ou não existir. Derivando :
Essa derivada existe para todo positivo, então igualamos a zero:
Para checarmos se temos para esse valor um mínimo da função, olhamos a segunda derivada:
Esse valor é positivo para qualquer positivo, então a concavidade da função é para cima e temos para um valor mínimo. O número de pedidos é então:
Resposta
4 pedidos de 200 pacotes cada.