Enunciado

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo retângulo com catetos de comprimento 3 e 4 cm, se dois dos lados do retângulo estiverem sobre os catetos.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo retângulo, sabendo que esse triângulo tem catetos de comprimento 3 e 4 e que os dois lados do retângulo estão sobre os catetos.

Esboçando isso, temos a seguinte figura:

Então, o que a gente vai fazer é maximizar a área do retângulo, A = x y , relacionando essas variáveis através da semelhança de triângulos e encontrando os pontos críticos da equação, por meio da derivada.

Vamos lá!

Passo 2

Primeiramente, por semelhança de triângulos, podemos escrever:

y 4 = 3 - x 3

3 y = 12 - 4 x

E isolando y , temos:

y = 4 - 4 x 3

Agora dá pra gente substituir na fórmula da área do retângulo:

A = x y

A = x 4 - 4 x 3

Aplicando a distributiva, temos:

A = 4 x - 4 x 2 3

Passo 3

Agora que nossa área depende de uma única variável, vamos tentar maximiza-la. Pra isso, vamos começar derivando A em relação a x :

A ' x = 4 - 8 x 3

E igualando isso a zero, temos:

4 - 8 x 3 = 0

8 x = 12

Isolando x , obtemos um dos lados do retângulo:

x = 3 2   c m

Como A = 4 x - 4 x 2 3 representa uma parábola de concavidade para baixo e esse é nosso único ponto crítico, podemos dizer que esse é um ponto de máximo da função.

Então, para encontrar y , vamos substituir o valor de x na equação do passo anterior:

y = 4 - 4 x 3

y = 4 - 4.3 2 3

Assim, temos:

y = 2 c m

E multiplicando as duas dimensões, temos a nossa área máxima:

A = x y

A = 3 2 ∙ 2

A = 3 c m ²

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

3 c m 2

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