Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.7 - Ex. 28
Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo retângulo com catetos de comprimento e cm, se dois dos lados do retângulo estiverem sobre os catetos.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um triângulo retângulo, sabendo que esse triângulo tem catetos de comprimento e e que os dois lados do retângulo estão sobre os catetos.
Esboçando isso, temos a seguinte figura:
Então, o que a gente vai fazer é maximizar a área do retângulo, , relacionando essas variáveis através da semelhança de triângulos e encontrando os pontos críticos da equação, por meio da derivada.
Vamos lá!
Passo 2
Primeiramente, por semelhança de triângulos, podemos escrever:
E isolando , temos:
Agora dá pra gente substituir na fórmula da área do retângulo:
Aplicando a distributiva, temos:
Passo 3
Agora que nossa área depende de uma única variável, vamos tentar maximiza-la. Pra isso, vamos começar derivando em relação a :
E igualando isso a zero, temos:
Isolando , obtemos um dos lados do retângulo:
Como representa uma parábola de concavidade para baixo e esse é nosso único ponto crítico, podemos dizer que esse é um ponto de máximo da função.
Então, para encontrar , vamos substituir o valor de na equação do passo anterior:
Assim, temos:
E multiplicando as duas dimensões, temos a nossa área máxima:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉