Enunciado

Calcule a integral.

int_0^((1)/(sqrt(3))) (t^2 - 1)/(t^4 - 1) d t

Passo 1

Para resolver essa integral vamos tentar analisar o numerador e denominador, da pra ver que temos uma expressão de grau 4 no denominador, e uma de grau 2 no numerador. Vamos então tentar ver se conseguimos ajustar o denominador para ficar duas expressões de grau 2 e se uma delas é igual a expressão do numerador, assim podemos tentar deixar a expressão com a forma de uma cara conhecida, vamos lá.

Passo 2

Vamos pegar só o denominador, dá pra destrinchar ele desse jeito:

t^4 - 1 = (t^2 + 1) (t^2 - 1)

Perfeito, achamos uma das parcelas igual a numerador, vamos substituir então:

int_0^((1)/(sqrt(3))) (t^2 - 1)/(t^4 - 1) d t = int_0^((1)/(sqrt(3))) (t^2 - 1)/((t^2 + 1) (t^2 - 1)) d t = int_0^((1)/(sqrt(3))) (1)/(t^2 + 1) d t

Passo 3

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int (1)/(t^2 + 1) d t

Temos de cara que (1)/(t^2 + 1) é a derivada de arctg t , pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_0^((1)/(sqrt(3))) (1)/(t^2 + 1) d t = (arctg t)_0^((1)/(sqrt(3))) = arctg ((1)/(sqrt(3))) - arctg (0) = (pi)/(6) - 0 = (pi)/(6)

Resposta

int_0^((1)/(sqrt(3))) (t^2 - 1)/(t^4 - 1) d t = (pi)/(6)

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