Enunciado

Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas

r = 3 cos ⁡ θ

r = sen ⁡ θ

Passo 1

Vamos plotar as curvas para termos ideia da área que a gente tá calculando.

Portanto, queremos a área dessa região sombreada.

A área de uma curva em coordenadas polares é dada por

A = ∫ a b 1 2 r 2 d θ

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

O intervalo de integração seria o intervalo em que a curva está definida.

Para encontrar esse intervalo, no caso dessa questão, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas, já que queremos a área dentro de ambas as curvas.

Para isso, basta igualarmos as duas curvas:

r = 3 cos ⁡ θ = sen ⁡ θ

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = tan ⁡ θ = 3

θ = π 3

Então vamos pensar. Se a gente imaginar uma reta θ = π 3 bem no ponto de interseção entre as duas curvas, é como se nossa região sombreada fosse a curva r = sen ⁡ θ de θ = 0 até θ = π 3 e depois passasse a ser a curva r = 3 cos ⁡ θ , de θ = π 3 até θ = π 2 .

Vê se você consegue visualizar isso:

Então, teremos dois intervalos de integração:

a = 0

b = π 3

E

c = π 3

d = π 2

Passo 3

Continuando, falta a gente descobrir quem é o r .

O r é a própria parametrização. Assim, como temos duas curvas, vamos ter dois r ' s (e também duas integrais, afinal, até definimos dois intervalos de integração ali no passo 2).

r = 3 cos ⁡ θ

r = sen ⁡ θ

Então agora é só substituir e integrar esse negocio.

Passo 4

Vamos lá:

A = 1 2 ∫ π 3 π 2 3 cos ⁡ θ 2 d θ + 1 2 ∫ 0 π 3 sen ⁡ θ 2 d θ

A = 1 2 ∫ π 3 π 2 3 cos 2 ⁡ θ d θ + 1 2 ∫ 0 π 3 sen 2 ⁡ θ d θ

A = 3 2 ∫ π 3 π 2 1 2 ( 1 + cos ⁡ 2 θ ) d θ + 1 2 ∫ 0 π 3 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 θ ) d θ

A = 3 2 1 2 θ + 1 2 sen ⁡ 2 θ π 2 π 3 + 1 2 1 2 θ - 1 2 sen ⁡ 2 θ π 3 0

A = 3 4 θ + 1 2 sen ⁡ 2 θ π 2 π 3 + 1 4 θ - sen ⁡ 2 θ π 3 0

A = 3 4 π 2 + 1 2 sen ⁡ π - π 3 + 1 2 sen ⁡ 2 π 3 + 1 4 π 3 - 1 2 sen ⁡ 2 π 3 - 0 - 1 2 sen ⁡ 0

A = 3 4 π 2 - π 3 - 3 4 + 1 4 π 3 - 3 4

A = 5 π 24 - 3 4

Resposta

A = 5 π 24 - 3 4

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