Enunciado

Assumindo que as equações nos Exercícios 15-20 definem x e y implicitamente como funções deriváveis x = f ( t ) ,   y = g ( t ) , encontre o coeficiente angular da curva x = f ( t ) ,   y = g ( t ) no valor determinado de t .

20. t = l n ( x - t ) ,   y = t e t ,   t = 0

Passo 1

Fala, galerinha! Ficaram com dúvida nessa questão? É, ela parece complicadinha, mas a gente vai resolver isso juntos.

Essa questão pede o coeficiente angular da curva mas agora não temos uma expressão explícita para x e y em termos de t . O que nós temos que fazer primeiro é identificar x = f ( t ) ,   y = g ( t ) e, a partir disso, obter o coeficiente angular

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t

Preparados?

Passo 2

No enunciado, já temos y = t e t , então não precisamos mexer nessa equação. Para x , temos

t = l n ( x - t )

Temos que dar um jeito de isolar x nessa relação. Para isso, vamos aplicar a função exponencial dos dois lados

e t = e l n ( x - t ) = x - t ⇒ x = t + e t

Muito legal esse truque, não é mesmo? Agora, vamos calcular as derivadas:

d x d t = d d t t + e t = 1 + e t

d y d t = d d t t e t = e t + t e t = ( 1 + t ) e t

Passo 3

Galerinha, já temos as derivadas necessárias, agora é só substituir no coeficiente da curva

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = ( 1   +   t ) e t 1   +   e t

Em t = 0 , esse coeficiente é

y ' | t = 0 = ( 1   +   t ) e t 1   +   e t | t   =   0 =   e 0 1   +   e 0 = 1 2

É só isso por enquanto. Eu me despeço por aqui, até mais!

Resposta

1 2

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