Encontre a área sob a curva y = 1 / (3x + 1)^2 acima do intervalo [0, 1] .

Passo 1

Antes de escrevermos a integral que temos que resolver, vamos esboçar essa região, se liga:

Ou seja, queremos encontrar quanto vale a área da região abaixo dessa curva verde, que vai de 0 até 1 . Sendo assim, a integral que temos que resolver é:

∫ 0 1 1 3 x + 1 2 d x

Passo 2

Para resolver essa integral vamos utilizar a seguinte substituição:

u = 3 x + 1

Disso tiramos que:

d u = 3 d x

∴ d u 3 = d x

Substituindo na nossa integral:

∫ 0 1 1 3 x + 1 2 d x = 1 3 ∫ 0 1 1 u 2 d u

Resolvendo:

1 3 ∫ 0 1 1 u 2 d u = - 1 3 1 u 1 0 = - 1 3 1 3 x + 1 1 0

- 1 3 1 3 x + 1 1 0 = - 1 3 1 4 - 1

∴ ∫ 0 1 1 3 x + 1 2 d x = 1 4   u . a

E esse é o valor da nossa área, galera!

Resposta

Área: 1 4   u . a

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