Enunciado

57-60 Um medicamento pode ser ministrado a um paciente de várias maneiras. Dado um método particular, seja c ( t ) a concentração (medida em mg/L) de medicamento na corrente sanguínea de um paciente t horas depois de aplicada a dose. No intervalo 0 ≤ t ≤ b , a área entre o gráfico de c = c ( t ) e o intervalo [ 0 , b ] indica a “ disponibilidade” do medicamento para o corpo do paciente naquele período de tempo. Em cada exercício, determine qual método oferece maior disponibilidade no intervalo de tempo dado.

58- Método 1: c t = 5   e - 0,2 t - e - t ,

Método 2: c t = 4   ( e - 0,2 t - e - 3 t ) ; [0,24]

Passo 1

Gente, quando a questão fala de área uma coisa tem que vir direto na sua cabeça: INTEGRAL.

Nesse exercício, nós vamos fazer a integral para a duas função, variando de 0 a 4.

Assim,

-Método 1:

∫ 0 24 5   e - 0,2 t - e - t   d t

5 ∫ 0 24 e - 0,2 t d t - 5 ∫ 0 24 e - t d t

Resolvendo a primeira integral, nós temos:

u = - 0,2   t

d u = - 0,2   d t

d t = - d u 0,2

Substituindo:

- 5 0,2 ∫ 0 24 e u d u = - 25   e - 0,2 t   0 24  

Já a segunda integral:

- 5 ∫ 0 24 e - t d t = 5 e - t 0 24

Logo,

∫ 0 24 5   e - 0,2 t - e - t   d t = - 25   e - 0,2 t   0 24 + 5 e - t 0 24

Assim,

- 25   e - 0,2 t   0 24 + 5 e - t 0 24 = - 0,21 + 25 + 1,89 × 10 - 10 - 5 = 19,79

Passo 2

-Método 1:

∫ 0 24 4   e - 0,2 t - e - 3 t   d t

4 ∫ 0 24 e - 0,2 t d t - 4 ∫ 0 24 e - 3 t d t

Resolvendo a primeira integral, nós temos:

u = - 0,2   t

d u = - 0,2   d t

d t = - d u 0,2

Substituindo:

- 4 0,2 ∫ 0 24 e u d u = - 20   e - 0,2 t   0 24  

Já a segunda integral:

u = - 3   t

d u = - 3   d t

d t = - d u 3

4 3 ∫ 0 24 e u d u = 1,33   e - 3 t 0 24

Logo,

∫ 0 24 4   e - 0,2 t - e - 3 t   d t = - 20   e - 0,2 t   0 24 + 1,33   e - 3 t 0 24

Assim,

- 20   e - 0,2 t   0 24 + 1,33   e - 3 t 0 24 = - 0,16 + 20 + 7,15 × 10 - 32 - 1,33 = 18,51

Como nós encontramos uma área maior para o método 1, esse é o que o oferece maior disponibilidade do medicamento.

Resposta

Método 1.

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