Enunciado

Encontre a área da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do e i x o   y .

x = 9 - y 2 ,           - 2 ≤ y ≤ 2

Passo 1

A área da superfície de uma curva pode sere obtida utilizando uma fórmula geral:

S = 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

Sabendo que :

f y = 9 - y 2

f ' y = - y 9 - y 2

Aplicando na fórmula, temos:

S = 2 π ∫ - 2 2 ( 9 - y 2 ) 1 + - y 9 - y 2 2 d y

S = 2 π ∫ - 2 2 ( 9 - y 2 ) 1 + - y 9 - y 2 2 d y

S = 2 π ∫ - 2 2 9 - y 2 + 9 - y 2 y 2 9 - y 2 d y

Simplificando:

S = 2 π ∫ - 2 2 9 - y 2 + y 2 d y

S = 2 π ∫ - 2 2 9   d y = 2 π ∫ - 2 2 3   d y

S = 6 π [ y ] - 2 2 = 6 π 2 - - 2 = 24 π

S = 2 π 82 . 9 . 2 2 2 + 2 - 9 . 0 2 2 + 0

Resposta

S = 24 π

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