Enunciado

31-50. Calcule as integrais por qualquer método.

34. ∫ π 2 π 6 s e n   x cos ⁡ x + 1 5 d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar o método de substituição simples, ok? A nossa integral é:

∫ π 2 π 6 s e n   x cos ⁡ x + 1 5 d x

A substituição que iremos utilizar é:

u = cos ⁡ x + 1

Encontrando a relação entre d x e d u para podermos substituir na nossa integral original:

d u = - s e n   x d x

∴ - d u = s e n   x d x

Beleza, encontramos u e d u , certo? Substituindo os resultados na nossa integral teremos:

∫ π 2 π 6 s e n   x cos ⁡ x + 1 5 d x = - 6 ∫ π 2 π u 5 d u

Show, agora que simplificamos ao máximo nossa integralzinha em termos de u , vamos resolver isso aí!

Passo 2

Antes de resolvermos a integral, vamos alterar os intervalos de integração utilizando a expressão u x que encontramos no passo anterior, se liga:

u = cos ⁡ x + 1

u π = cos ⁡ π + 1 = 0

u π 2 = cos ⁡ π 2 + 1 = 1

Logo:

- 6 ∫ π 2 π u 5 d u = - 6 ∫ 1 0 u 5 d u

Passo 3

Ok, agora sim resolvendo nossa integral, teremos:

- 6 ∫ 1 0 u 5 d u = - 6 . u 6 6 0 1

- 6 ∫ 1 0 u 5 d u = - u 6 0 1

Fazendo F b - F a , no qual a é o limite de integração inferior e b é o limite de integração superior, teremos:

- 6 ∫ 1 0 u 5 d u = - 0 6 - 1 6

∴ ∫ π 2 π 6 s e n   x cos ⁡ x + 1 5 d x = 1

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ π 2 π 6 s e n   x cos ⁡ x + 1 5 d x = 1

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