Enunciado

Encontre a área da superfície.

A parte do plano 2 y + 4 z - x 2 = 5 que cruza acima do triangulo com vértices 0,0 ,   2,0   e   2,4 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A área da superfície com a equação z = f x , y é:

A S = ∬ D f x x , y 2 + f y x , y 2 + 1 d A

Passo 2

Temos então que encontrar as derivadas parciais f x e f y . Temos que z = 5 + x 2 - 2 y 4 , portanto:

f x = 2 x 4 = x 2

f y = - 2 4 = - 1 2

Passo 3

A área será:

A = ∬ D x / 2 2 + - 1 / 2 2 + 1 d A

A = ∬ D x 2 4 + 1 4 + 1 d A

A = ∬ D x 2 + 5 4 d A

Para aplicar os limites, temos que:

x - 0 2 = y - 0

y = 2 x

0 ≤ y ≤ 2 x

0 ≤ x ≤ 2

Portanto:

A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 x x 2 + 5 4 d y d x

Resolvendo, temos que:

A = ∫ 0 2 ∫ 0 2 x x 2 + 5 4 d y d x = ∫ 0 2 x 2 + 5 4 y 0 2 x d x

A = ∫ 0 2 x 2 + 5 4 2 x d x

Para resolver, temos que aplicar o método da substituição. Temos que:

t = x 2 + 5

Logo:

d t = 2 x d x

Quando x = 0 temos que t = 5 e quando x = 2 t = 9 , portanto:

A = ∫ 5 9 t 4 d t

A = ∫ 5 9 t 2 d t

A = 1 2 t 3 2 3 2 5 9

A = 1 2 2 3 9 3 / 2 - 5 3 / 2

A = 1 3 27 - 5 5

Resposta

A = 1 3 27 - 5 5

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