Cálculo de Volumes por Integrais Duplas
Teoria
Lá no início de tudo eu te motivei a estudar integrais duplas falando que elas representam volumes! Agora vou deixar isso mais claro. Imagina que eu quero o volume entre a função e o plano dentro do retângulo como na figura abaixo:
Temos que o volume será dado pela integral dupla, ou seja
ou
(sendo a área de ).
Na prática
Imagina que eu quero calcular volume da região limitada pelos planos , e .
Primeiro, precisamos esboçar a região:
Podemos reescrever o último plano como e pensar que queremos o volume entre a superfície do plano inclinado e a região do plano formada pelo triângulo abaixo:
Como esse triângulo foi obtido? Pelo desenho vemos que o domínio é limitado pelos eixos cartesianos e pela interseção do plano com o plano , ou seja, pela reta . Então, representa a “altura” da região em cada ponto e representa a área sobre essa altura. Chamando essa região plana acima de , temos que:
Ou seja, o volume que queremos é a integral da função que representa o plano inclinado na região plana que desenhamos acima.
Então, precisamos escrever matematicamente essa região , como sempre fizemos nas integrais duplas.
Como já mencionado acima, para descobrir a equação da reta inclinada é só fazer a intersecção do plano com , o que nos dá:
Escrevendo a região plana como tipo I, temos que está entre as retas e enquanto está entre e . Portanto, . Levando isso para a integral:
Aí é só resolver!
Ok, vamos ver um exemplo um pouco mais elaborado agora
Calculemos o volume da região limitada pelos paraboloides e .
A região que temos é essa aqui:
Nós podemos pensar que ela está limitada pelas duas funções e .
A “altura” dessa região, não vai ser sempre ? Ou seja, essa “altura” é!
Bom, se para achar o volume da região, temos que integrar uma altura em uma área, nada mais justo que dizer que:
Onde é a área que limita esse volume no plano (a projeção do volume):
Aí, é só escrever essa região como em qualquer integral dupla que já vimos. Como é um círculo, a boa é usar coordenadas polares.
O círculo fica definido como e .
Esse limite do raio pode ser encontrado fazendo a interseção entre os paraboloides:
Beleza?
Levando isso para a integral, temos:
Aí é só resolver isso aí!
Então, o conceito novo desse capítulo é entender como escrever o volume como uma integral dupla (identificando quem é a “altura” da região e quem é a área que a limita no plano ), depois, a questão é igual a qualquer outra de integral dupla!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 916
Calcule o volume do sólido que é delimitado pelo paraboloide elíptico , pelos planos e e pelos planos coordenados.
Passo 1
Para entender o que está sendo pedido, vamos fazer um esboço. Esse seria o paraboloide que o enunciado menciona, vamos primeiro desenhar esse paraboloide:
Repara que a sua equação é
Então o vértice desse paraboloide está no , vai ficar como na figura de baixo.
Mas o problema diz que a superfície é cortada pelos planos coordenados ( , e ) e também pelos planos e , certo? Faremos isso. Vamos manter o paraboloide limitado com
O gráfico vai ficar
Pronto, é o volume dessa região que a questão pede (uma caixa com a parte de cima curva).
Passo 2
Agora devemos montar o problema em linguagem matemática. Para isso, basta você se lembrar da definição de Integrais Duplas. Integrar uma função em uma região do plano não é equivalente a calcular o volume entre essa superfície e esse plano? Então é isso que faremos.
Vamos escrever a equação do paraboloide em função de e Basta isolar o :
Note que, como os coeficientes de e de ficaram negativos, o paraboloide está virado para baixo. Nunca teremos um valor de maior que (quando e são iguais a zero).
Montaremos, então, a integral:
Passo 3
Para calcularmos essa integral dupla, vamos separá-la em integrais simples:
Devemos, então, encontrar os valores dos limites de integração , , , e . Repare que a região formada no plano ,abaixo do pedaço que restou do paraboloide, é um retângulo que pode ser escrito assim:
Pois tanto como variam entre e . Basta, agora, escrever esses números na integral:
Passo 4
Vamos começar integrando em (a integral de dentro):
Passo 5
Agora, vamos integrar em :
Resposta
Exercício Resolvido #2
PUC-RJ - Cálculo 3 - P1 2013.2 – 3
Seja . Mostre que o volume do sólido limitado pelo plano e pelo paraboloide é igual a:
Sugestão: Use coordenadas polares. Justifique.
Passo 1
Vamos primeiro entender como calcular esse volume. Lembra que o volume que fica embaixo dessa função até o plano vai ser
Onde é aquela região da função onde Vamos descobrir que região é essa
Isso é uma circunferência de centro na origem e raio
Como temos uma circunferência na região vamos usar coordenadas polares.
Passo 2
Faremos então
Passo 3
Falta fazermos o intervalo de integração, como temos um circulo de raio vamos ter
Passo 4
Vamos, então, montar a integral em coordenadas polares:
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a :
Passo 6
Integrando, agora, em relação a , temos:
Resposta
Exercício Resolvido #3
James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 929
Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide , acima do plano e dentro do cilindro .
Passo 1
Calcular o volume entre a função e o plano dentro de uma região é o mesmo que:
Mas que região é essa? Repare que o enunciado limitou a região de integração com um cilindro, que nada mais é que a “repetição” de uma circunferência para qualquer . Portanto, o domínio que buscamos no plano , é limitado por uma circunferência de equação:
Passo 2
Como tanto a função que vamos integrar como a região de integração possuem termos e , vamos utilizar coordenadas polares. Faremos, então:
Passo 3
Agora que já definimos a substituição que faremos, vamos analisar os novos intervalos de integração.
O termo da equação da circunferência indica que ela não está centrada na origem. Vamos, então, completar o quadrado para descobrirmos seu centro:
Portanto, temos uma circunferência de raio centrada em , vamos representá-la graficamente:
O ângulo varia entre e . Se não ficou claro a partir da imagem, pensa no seguinte: o ângulo deve cobrir toda a parte à direita o eixo , e cresce no sentido anti-horário, certo? Então, a partir da origem, o ângulo deve começar cobrindo a parte de baixo da curva, e seu valor inicial é . No ponto , vamos ter . Quando a curva começa a ser fechada na origem, vai se aproximando do valor .
Já , varia entre e a curva em vermelho, então, vamos substituir os valores que definimos para e na expressão do círculo:
Como sempre, teremos:
Passo 4
Vamos, então, montar a integral em coordenadas polares:
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a :
Passo 6
Para integrar em relação a , vamos utilizar a fórmula do arco duplo:
Aplicando essa fórmula novamente:
Resposta
Exercício Resolvido #4
UERJ - Cálculo 2 - Selecionados Lista 21 - 4a
Calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico de:
Passo 1
Bom, antes de mais nada, vamos desenhar essa região do problema, para visualizar melhor as coisas.
Nós temos o plano , o plano e o , que são traquilos de desenhar. Agora vamos pensar no .
Você pode fazer a reta no plano , tendo em mente que ela corta o eixo em (é o ponto onde ) e que cresce quando cresce, não precisa ser nada perfeito não! É um esboço. Agora, a equação do plano não possui a coordenada , basta “repetirmos” essa reta ao longo do eixo .
Agora vamos ao último plano . Repara que ele não tem a coordenada , então, basta desenharmos a reta no plano e repetí-la ao longo do eixo .
Temos então a seguinte região:
Aqui vai um outro ponto de vista, se você ficou confuso:
Beleza? Como o problema não menciona nenhum plano fechando a região por baixo, vamos assumir que , ou seja, que o volume é limitado pelo plano . Agora, chamando de essa região que acabamos de analisar, o problema pede então .
Passo 2
Certo, agora precisamos escrever matematicamente essa região, ok? Podemos ver que, na coordenada ela é limitada por duas funções ( e ) e no plano , por uma área, que chamaremos de .
Sendo assim, esse volume pode ser escrito da seguinte forma:
Passo 3
Agora precisamos escrever matematicamente essa área , como em qualquer integral dupla que já fizemos. Imagine o sólido visto de cima, temos isso aqui:
Essa é a área que limita no plano . Vamos descrevê-la como uma região do tipo I, na coordenada ela é limitada por funções (a reta vermelha e a roxa ) e na coordenada é limitada por números ( e ).
Podemos então escrever o seguinte:
Passo 4
Agora vamos substituir na integral esses intervalos que encontramos:
Cuidado com a ordem dos diferenciais! Ela tem que acompanhar os intervalos da integrais.
Passo 5
Agora em relação a :
Passo 6
Finalmente, integramos em relação a :
Resposta
Exercício Resolvido #5
UERJ - Cálculo 2 - Selecionados Lista 21 - 4b
Calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico de:
Passo 1
Antes de tudo, vamos desenhar essa região para entender melhor o problema. Temos um plano , um cilindro de base parabólica e um plano .
Para o cilindro, é uma boa você desenhar a parábola no plano e depois repeti-la ao longo do eixo (afinal, a coordenada não está presente na equação, o que significa que ela vale para qualquer ). Para o plano , fazemos o mesmo, desenhamos a reta no plano e a repetimos ao longo do eixo . O outro plano, , já é mais chatinho de desenhar, mas como isso aqui é só um esboço, você pode desenhar um plano qualquer, é só para termos uma noção da região mesmo.
No plano , a região é limitada pelo cilindro e pelo plano verde e na coordenada , limitada pelo plano azul. Como não há mais informações para limitar a coordenada