Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

Teoria Completa

Lá no início de tudo eu te motivei a estudar integrais duplas falando que elas representam volumes! Agora vou deixar isso mais claro. Imagina que eu quero o volume entre a função f ( x , y ) e o plano x y dentro do retângulo R , como na figura abaixo:

Temos que o volume será dado pela integral dupla, ou seja

V = ∬ R   f x , y   d x   d y  ou   ∬ R   f x , y   d A

(sendo A   a área de R ).

Na prática

Imagina que eu quero calcular volume da região limitada pelos planos x = 0 , y = 0 e x + y + z = 1 .

Primeiro, precisamos esboçar a região:

Podemos reescrever o último plano como f x , y = z = 1 - x - y e pensar que queremos o volume entre a superfície do plano inclinado e a região do plano x y formada pelo triângulo abaixo:

Como esse triângulo foi obtido? Pelo desenho vemos que o domínio é limitado pelos eixos cartesianos e pela interseção do plano x + y + z = 1 com o plano x y , ou seja, pela reta x + y = 1 . Então, f x , y = 1 - x - y representa a “altura” da região em cada ponto e d A representa a área sobre essa altura. Chamando essa região plana acima de D , temos que:

V = ∬ D   f ( x , y ) d A = ∬ D   ( 1 - x - y ) d x d y

Ou seja, o volume que queremos é a integral da função que representa o plano inclinado na região plana que desenhamos acima.

Então, precisamos escrever matematicamente essa região D , como sempre fizemos nas integrais duplas.

Como já mencionado acima, para descobrir a equação da reta inclinada é só fazer a intersecção do plano z = 1 - x - y com z = 0 , o que nos dá:

0 = 1 - x - y

y = 1 - x

Escrevendo a região plana como tipo I, temos que y está entre as retas y = 0   e y = 1 - x , enquanto x está entre x = 0 e x = 1 . Portanto, 0 ≤ y ≤ 1 - x ,   0 ≤ x ≤ 1 . Levando isso para a integral:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ( 1 - x - y ) d y d x

Aí é só resolver!

Ok, vamos ver um exemplo um pouco mais elaborado agora

Calculemos o volume da região limitada pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 4 - x 2 - y 2 .

A região que temos é essa aqui:

Nós podemos pensar que ela está limitada pelas duas funções f x , y = z = x 2 + y 2 e g x , y = z = 4 - x 2 - y 2 .

A “altura” dessa região, não vai ser sempre z   d o   p a r a b o l o i d e   l a r a n j a - ( z   d o   p a r a b o l o i d e   a z u l ) ? Ou seja, essa “altura” é   g x , y - f ( x , y ) !

Bom, se para achar o volume da região, temos que integrar uma altura em uma área, nada mais justo que dizer que:

V = ∬ D   g x , y - f x , y d A

V = ∬ D   ( 4 - x 2 - y 2 ) - ( x 2 + y 2 ) d A = ∬ D   ( 4 - 2 x 2 - 2 y 2 ) d A

Onde D é a área que limita esse volume no plano x y (a projeção do volume):

Aí, é só escrever essa região D como em qualquer integral dupla que já vimos. Como é um círculo, a boa é usar coordenadas polares.

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

O círculo fica definido como 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Esse limite r = 2 do raio pode ser encontrado fazendo a interseção entre os paraboloides:

z = x 2 + y 2 = 4 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 2

Beleza?

Levando isso para a integral, temos:

V = ∬ D   ( 4 - 2 x 2 - 2 y 2 ) d A = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( 2 - r 2 ) r d r d θ

Aí é só resolver isso aí!

Então, o conceito novo desse capítulo é entender como escrever o volume como uma integral dupla (identificando quem é a “altura” da região e quem é a área que a limita no plano x y ), depois, a questão é igual a qualquer outra de integral dupla!

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 916

Calcule o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide elíptico x 2 + 2 y 2 + z = 16 , pelos planos x = 2 e y = 2 e pelos 3 planos coordenados.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para entender o que está sendo pedido, vamos fazer um esboço. Esse seria o paraboloide que o enunciado menciona, vamos primeiro desenhar esse paraboloide:

Repara que a sua equação é

z = 16 - x 2 - 2 y 2

Então o vértice desse paraboloide está no 16 , vai ficar como na figura de baixo.

Mas o problema diz que a superfície é cortada pelos 3 planos coordenados ( x = 0 , y = 0 e z = 0 ) e também pelos planos x = 2 e y = 2 , certo? Faremos isso. Vamos manter o paraboloide limitado com

x ∈ 0,2

y ∈ 0,2

O gráfico vai ficar

Pronto, é o volume dessa região que a questão pede (uma caixa com a parte de cima curva).

Passo 2

Agora devemos montar o problema em linguagem matemática. Para isso, basta você se lembrar da definição de Integrais Duplas. Integrar uma função f x , y = z em uma região do plano x y não é equivalente a calcular o volume entre essa superfície e esse plano? Então é isso que faremos.

Vamos escrever a equação do paraboloide em função de x e y . Basta isolar o z :

z = 16 - x 2 - 2 y 2 = f x , y

Note que, como os coeficientes de x 2 e de y 2 ficaram negativos, o paraboloide está virado para baixo. Nunca teremos um valor de z maior que 16 (quando x e y são iguais a zero).

Montaremos, então, a integral:

V = ∬ R   f x , y   d x   d y = ∬ R   16 - x 2 - 2 y 2   d x   d y

Passo 3

Para calcularmos essa integral dupla, vamos separá-la em integrais simples:

∫ a b   ∫ c d 16 - x 2 - 2 y 2   d x   d y

Devemos, então, encontrar os valores dos limites de integração a , b , c , e d . Repare que a região formada no plano x y ,abaixo do pedaço que restou do paraboloide, é um retângulo que pode ser escrito assim:

R = 0,2 × [ 0,2 ]

Pois tanto x como y variam entre 0 e 2 . Basta, agora, escrever esses números na integral:

∫ 0 2   ∫ 0 2 16 - x 2 - 2 y 2   d x   d y

Passo 4

Vamos começar integrando em x (a integral de dentro):

∫ 0 2   ∫ 0 2 16 - x 2 - 2 y 2   d x   d y =

= ∫ 0 2   16 x - x 3 3 - 2 x y 2 x = 0 x = 2 d y =

= ∫ 0 2 16 × 2 - 8 3 - 2 × 2 y 2 - 0   d y =

= ∫ 0 2 88 3 - 4 y 2   d y

Passo 5

Agora, vamos integrar em y :

88 y 3 - 4 y 3 3 y = 0 y = 2 =

= 88 × 2 3 - 4 × 8 3 - 0 = 48

Resposta

48

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo 3 - P1 2013.2 – 3

Seja a > 0 . Mostre que o volume do sólido S limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = a - x 2 - y 2