Cálculo de Volumes por Integrais Duplas

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Teoria

Lá no início de tudo eu te motivei a estudar integrais duplas falando que elas representam volumes! Agora vou deixar isso mais claro. Imagina que eu quero o volume entre a função f ( x , y ) e o plano x y dentro do retângulo R , como na figura abaixo:

Temos que o volume será dado pela integral dupla, ou seja

V = ∬ R   f x , y   d x   d y  ou   ∬ R   f x , y   d A

(sendo A   a área de R ).

Na prática

Imagina que eu quero calcular volume da região limitada pelos planos x = 0 , y = 0 e x + y + z = 1 .

Primeiro, precisamos esboçar a região:

Podemos reescrever o último plano como f x , y = z = 1 - x - y e pensar que queremos o volume entre a superfície do plano inclinado e a região do plano x y formada pelo triângulo abaixo:

Como esse triângulo foi obtido? Pelo desenho vemos que o domínio é limitado pelos eixos cartesianos e pela interseção do plano x + y + z = 1 com o plano x y , ou seja, pela reta x + y = 1 . Então, f x , y = 1 - x - y representa a “altura” da região em cada ponto e d A representa a área sobre essa altura. Chamando essa região plana acima de D , temos que:

V = ∬ D   f ( x , y ) d A = ∬ D   ( 1 - x - y ) d x d y

Ou seja, o volume que queremos é a integral da função que representa o plano inclinado na região plana que desenhamos acima.

Então, precisamos escrever matematicamente essa região D , como sempre fizemos nas integrais duplas.

Como já mencionado acima, para descobrir a equação da reta inclinada é só fazer a intersecção do plano z = 1 - x - y com z = 0 , o que nos dá:

0 = 1 - x - y

y = 1 - x

Escrevendo a região plana como tipo I, temos que y está entre as retas y = 0   e y = 1 - x , enquanto x está entre x = 0 e x = 1 . Portanto, 0 ≤ y ≤ 1 - x ,   0 ≤ x ≤ 1 . Levando isso para a integral:

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ( 1 - x - y ) d y d x

Aí é só resolver!

Ok, vamos ver um exemplo um pouco mais elaborado agora

Calculemos o volume da região limitada pelos paraboloides z = x 2 + y 2 e z = 4 - x 2 - y 2 .

A região que temos é essa aqui:

Nós podemos pensar que ela está limitada pelas duas funções f x , y = z = x 2 + y 2 e g x , y = z = 4 - x 2 - y 2 .

A “altura” dessa região, não vai ser sempre z   d o   p a r a b o l o i d e   l a r a n j a - ( z   d o   p a r a b o l o i d e   a z u l ) ? Ou seja, essa “altura” é   g x , y - f ( x , y ) !

Bom, se para achar o volume da região, temos que integrar uma altura em uma área, nada mais justo que dizer que:

V = ∬ D   g x , y - f x , y d A

V = ∬ D   ( 4 - x 2 - y 2 ) - ( x 2 + y 2 ) d A = ∬ D   ( 4 - 2 x 2 - 2 y 2 ) d A

Onde D é a área que limita esse volume no plano x y (a projeção do volume):

Aí, é só escrever essa região D como em qualquer integral dupla que já vimos. Como é um círculo, a boa é usar coordenadas polares.

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

J = r

O círculo fica definido como 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Esse limite r = 2 do raio pode ser encontrado fazendo a interseção entre os paraboloides:

z = x 2 + y 2 = 4 - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = 2

Beleza?

Levando isso para a integral, temos:

V = ∬ D   ( 4 - 2 x 2 - 2 y 2 ) d A = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( 2 - r 2 ) r d r d θ

Aí é só resolver isso aí!

Então, o conceito novo desse capítulo é entender como escrever o volume como uma integral dupla (identificando quem é a “altura” da região e quem é a área que a limita no plano x y ), depois, a questão é igual a qualquer outra de integral dupla!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule o volume do sólido S que é delimitado pelo paraboloide elíptico x 2 + 2 y 2 + z = 16 , pelos planos x = 2 e y = 2 e pelos 3 planos coordenados.

Passo 1

Para entender o que está sendo pedido, vamos fazer um esboço. Esse seria o paraboloide que o enunciado menciona, vamos primeiro desenhar esse paraboloide:

Repara que a sua equação é

z = 16 - x 2 - 2 y 2

Então o vértice desse paraboloide está no 16 , vai ficar como na figura de baixo.

Mas o problema diz que a superfície é cortada pelos 3 planos coordenados ( x = 0 , y = 0 e z = 0 ) e também pelos planos x = 2 e y = 2 , certo? Faremos isso. Vamos manter o paraboloide limitado com

x ∈ 0,2

y ∈ 0,2

O gráfico vai ficar

Pronto, é o volume dessa região que a questão pede (uma caixa com a parte de cima curva).

Passo 2

Agora devemos montar o problema em linguagem matemática. Para isso, basta você se lembrar da definição de Integrais Duplas. Integrar uma função f x , y = z em uma região do plano x y não é equivalente a calcular o volume entre essa superfície e esse plano? Então é isso que faremos.

Vamos escrever a equação do paraboloide em função de x e y . Basta isolar o z :

z = 16 - x 2 - 2 y 2 = f x , y

Note que, como os coeficientes de x 2 e de y 2 ficaram negativos, o paraboloide está virado para baixo. Nunca teremos um valor de z maior que 16 (quando x e y são iguais a zero).

Montaremos, então, a integral:

V = ∬ R   f x , y   d x   d y = ∬ R   16 - x 2 - 2 y 2   d x   d y

Passo 3

Para calcularmos essa integral dupla, vamos separá-la em integrais simples:

∫ a b   ∫ c d 16 - x 2 - 2 y 2   d x   d y

Devemos, então, encontrar os valores dos limites de integração a , b , c , e d . Repare que a região formada no plano x y ,abaixo do pedaço que restou do paraboloide, é um retângulo que pode ser escrito assim:

R = 0,2 × [ 0,2 ]

Pois tanto x como y variam entre 0 e 2 . Basta, agora, escrever esses números na integral:

∫ 0 2   ∫ 0 2 16 - x 2 - 2 y 2   d x   d y

Passo 4

Vamos começar integrando em x (a integral de dentro):

∫ 0 2   ∫ 0 2 16 - x 2 - 2 y 2   d x   d y =

= ∫ 0 2   16 x - x 3 3 - 2 x y 2 x = 0 x = 2 d y =

= ∫ 0 2 16 × 2 - 8 3 - 2 × 2 y 2 - 0   d y =

= ∫ 0 2 88 3 - 4 y 2   d y

Passo 5

Agora, vamos integrar em y :

88 y 3 - 4 y 3 3 y = 0 y = 2 =

= 88 × 2 3 - 4 × 8 3 - 0 = 48

Resposta

48

Exercício Resolvido #2

Seja a > 0 . Mostre que o volume do sólido S limitado pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = a - x 2 - y 2 é igual a:

V S = π a 2 2

Sugestão: Use coordenadas polares. Justifique.

Passo 1

Vamos primeiro entender como calcular esse volume. Lembra que o volume que fica embaixo dessa função até o plano x y vai ser

V = ∬ D z d x d y = ∬ D a - x 2 - y 2 d x d y

Onde D é aquela região da função onde z = 0 Vamos descobrir que região é essa

z = a - x 2 - y 2

0 = a - x 2 - y 2

x 2 + y 2 = a

Isso é uma circunferência de centro na origem e raio a

Como temos uma circunferência na região D vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Faremos então

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Passo 3

Falta fazermos o intervalo de integração, como temos um circulo de raio a vamos ter

D = { ( r , θ ) | 0 ≤ r ≤ a ;   0 ≤ θ ≤ 2 π }

Passo 4

Vamos, então, montar a integral em coordenadas polares:

∫ 0 2 π   ∫ 0 a [ a - r   c o s   θ 2 - r   s e n   θ 2 ] r d r d θ =

= ∫ 0 2 π   ∫ 0 a a r - r 3   d r d θ =

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a r :

= ∫ 0 2 π   a r 2 2 - r 4 4 r = 0 r = a d θ = ∫ 0 2 π   a a 2 2 - a 4 4 d θ

= ∫ 0 2 π a 2 2 - a 2 4   d θ =   ∫ 0 2 π a 2 4 d θ =

Passo 6

Integrando, agora, em relação a θ , temos:

= a 2 θ 4 0 2 π = a 2 4 2 π - 0 = a 2 π 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #3

Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z = x 2 + y 2 , acima do plano x y e dentro do cilindro x 2 + y 2 = 2 x .

Passo 1

Calcular o volume entre a função f x ,   y = x 2 + y 2 e o plano x y dentro de uma região D é o mesmo que:

∬ D   x 2 + y 2   d x d y

Mas que região D é essa? Repare que o enunciado limitou a região de integração com um cilindro, que nada mais é que a “repetição” de uma circunferência para qualquer z . Portanto, o domínio que buscamos no plano x y , é limitado por uma circunferência de equação:

x 2 - 2 x + y 2 = 0

Passo 2

Como tanto a função que vamos integrar como a região de integração possuem termos x 2 e y 2 , vamos utilizar coordenadas polares. Faremos, então:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

Passo 3

Agora que já definimos a substituição que faremos, vamos analisar os novos intervalos de integração.

O termo 2 x da equação da circunferência indica que ela não está centrada na origem. Vamos, então, completar o quadrado para descobrirmos seu centro:

x 2 - 2 x + y 2 = 0

x - 1 2 + y 2 = 1

Portanto, temos uma circunferência de raio 1 centrada em ( 1,0 ) , vamos representá-la graficamente:

O ângulo θ varia entre – π / 2 e π / 2 . Se não ficou claro a partir da imagem, pensa no seguinte: o ângulo deve cobrir toda a parte à direita o eixo y , e cresce no sentido anti-horário, certo? Então, a partir da origem, o ângulo θ deve começar cobrindo a parte de baixo da curva, e seu valor inicial é θ = - π / 2 . No ponto x = 2 , vamos ter θ = 0 . Quando a curva começa a ser fechada na origem, θ vai se aproximando do valor π / 2 .

r , varia entre 0 e a curva em vermelho, então, vamos substituir os valores que definimos para x e y na expressão do círculo:

r cos ⁡ θ 2 - 2 r cos ⁡ θ + r sen ⁡ θ 2 ≤ 0

r 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - 2 r cos ⁡ θ ≤ 0

r 2 - 2 r cos ⁡ θ ≤ 0

r r - 2 cos ⁡ θ ≤ 0

Como r ≥ 0 sempre, teremos:

r - 2 cos ⁡ θ ≤ 0   → r ≤ 2 cos ⁡ θ  

D = { ( r , θ ) | 0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ ;   - π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 }

Passo 4

Vamos, então, montar a integral em coordenadas polares:

∫ - π / 2 π / 2   ∫ 0 2 cos ⁡ θ [ r cos ⁡ θ 2 + r sen ⁡ θ 2 ] r   d r d θ =

= ∫ - π / 2 π / 2   ∫ 0 2 cos ⁡ θ [ cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 ]   r 2   r   d r d θ =

= ∫ - π / 2 π / 2   ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 3   d r d θ =

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a r :

= ∫ - π / 2 π / 2   r 4 4 r = 0 r = 2 cos ⁡ θ d θ =

= ∫ - π 2 π 2   16 cos 4 ⁡ θ 4   d θ = ∫ - π 2 π 2   4 cos 4 ⁡ θ   d θ =

Passo 6

Para integrar em relação a θ , vamos utilizar a fórmula do arco duplo: cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

= 4 ∫ - π 2 π 2   1 + cos ⁡ 2 θ 2 2   d θ =

= ∫ - π 2 π 2 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ   d θ =

Aplicando essa fórmula novamente:

= ∫ - π 2 π 2   1 + 2 cos ⁡ 2 θ + 1 + cos ⁡ 4 θ 2 d θ =

= 3 θ 2 + 2 sen ⁡ 2 θ 2 + sen ⁡ 4 θ 8 - π 2 π 2 =

= 3 π / 2 2 + 0 + 0 - 3 - π / 2 2 + 0 + 0 =

Resposta

3 2 π

Exercício Resolvido #4

Calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico de:

z = 4 - x

x = 0

x = 2

y = 0

y = 1 4 x + 1 2

Passo 1

Bom, antes de mais nada, vamos desenhar essa região do problema, para visualizar melhor as coisas.

Nós temos o plano x = 0 , o plano x = 2 e o y = 0 , que são traquilos de desenhar. Agora vamos pensar no y = x 4 + 1 2 .

Você pode fazer a reta y = x 4 + 1 2 no plano x y , tendo em mente que ela corta o eixo y em y = 1 2 (é o ponto onde x = 0 ) e que y cresce quando x cresce, não precisa ser nada perfeito não! É um esboço. Agora, a equação do plano não possui a coordenada z , basta “repetirmos” essa reta ao longo do eixo z .

Agora vamos ao último plano z = 4 - x . Repara que ele não tem a coordenada y , então, basta desenharmos a reta z = 4 - x no plano x z e repetí-la ao longo do eixo y .

Temos então a seguinte região:

Aqui vai um outro ponto de vista, se você ficou confuso:

Beleza? Como o problema não menciona nenhum plano fechando a região por baixo, vamos assumir que z ≥ 0 , ou seja, que o volume é limitado pelo plano z = 0 . Agora, chamando de W essa região que acabamos de analisar, o problema pede então volume W .

Passo 2

Certo, agora precisamos escrever matematicamente essa região, ok? Podemos ver que, na coordenada z ela é limitada por duas funções ( z = 4 - x e z = 0 ) e no plano x y , por uma área, que chamaremos de D .

Sendo assim, esse volume pode ser escrito da seguinte forma:

W = { ( x , y , z ) | x , y ∈ D ;   0 ≤ z ≤ 4 - x }

volume W = ∬ D   4 - x - ( 0 ) d A

volume W = ∬ D   4 - x d A

Passo 3

Agora precisamos escrever matematicamente essa área D , como em qualquer integral dupla que já fizemos. Imagine o sólido visto de cima, temos isso aqui:

Essa é a área que limita W no plano x y . Vamos descrevê-la como uma região do tipo I, na coordenada y ela é limitada por funções (a reta vermelha y = 0 e a roxa y = x 4 + 1 2 ) e na coordenada x é limitada por números ( x = 0 e x = 2 ).

Podemos então escrever o seguinte:

D = x , y | 0 ≤ x ≤ 2 ; 0 ≤ y ≤ x 4 + 1 2

Passo 4

Agora vamos substituir na integral esses intervalos que encontramos:

volume W = ∫ 0 2 ∫ 0 x 4 + 1 2 4 - x d y d x

Cuidado com a ordem dos diferenciais! Ela tem que acompanhar os intervalos da integrais.

Passo 5

Agora em relação a y :

= ∫ 0 2 4 y - x y 0 x 4 + 1 2 d x =

= ∫ 0 2 x + 2 - x 2 4 - x 2 d x =

= ∫ 0 2 x 2 + 2 - x 2 4 d x =

Passo 6

Finalmente, integramos em relação a x :

= x 2 4 + 2 x - x 3 12 0 2 =

= 1 + 4 - 2 3 =

= 13 3

Resposta

volume W = 13 3

Exercício Resolvido #5

Calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico de:

z = x + y

y = x 2

y = 2 x

Passo 1

Antes de tudo, vamos desenhar essa região para entender melhor o problema. Temos um plano z = x + y , um cilindro de base parabólica y = x 2 e um plano y = 2 x .

Para o cilindro, é uma boa você desenhar a parábola y = x 2 no plano x y e depois repeti-la ao longo do eixo z (afinal, a coordenada z não está presente na equação, o que significa que ela vale para qualquer z ). Para o plano y = 2 x , fazemos o mesmo, desenhamos a reta y = 2 x no plano x y e a repetimos ao longo do eixo z . O outro plano, z = x + y , já é mais chatinho de desenhar, mas como isso aqui é só um esboço, você pode desenhar um plano qualquer, é só para termos uma noção da região mesmo.

No plano x y , a região é limitada pelo cilindro e pelo plano verde e na coordenada z , limitada pelo plano azul. Como não há mais informações para limitar a coordenada z , vamos assumir que z ≥ 0 , para continuarmos o problema.

Nossa região é então a que está entre as superfícies vermelha e verde e abaixo do plano azul:

Chamando de W essa região que acabamos de analisar, o problema pede então volume W .

Passo 2

Beleza, agora precisamos escrever matematicamente essa região. Como podemos ver, na coordenada z ela está limitada pela equação do plano azul z = x + y e pelo plano z = 0 , enquanto no plano x y ela é limitada pela seguinte àrea:

Essa seria a região vista de cima, percebeu? O plano verde virou uma reta y = 2 x e o cilindro de parábola virou uma parábola y = x 2 . Certo, então vamos escrever o seguinte:

W = { ( x , y , z ) | x , y ∈ D ;   0 ≤ z ≤ x + y }

volume W = ∬ D   x + y - ( 0 ) d A

volume W = ∬ D   x + y d A

Onde D é essa área que acabamos de ver acima.

Passo 3

Agora precisamos escrever matematicamente essa área, como em qualquer integral dupla que já fizemos.

Vamos enxergar essa área como região do tipo I, limitada na coordenada y por funções (a equação da parábola e da reta) e em x por números.

Como em y a área está entre a equação da parábola e a da reta, temos que:

x 2 ≤ y ≤ 2 x

Agora vamos ver a coordenada x . Pela figura, vemos que x varia desde a origem x = 0 até o encontro da reta com a parábola, que acontece em x = 2 (para ver isso, basta substituir uma equação na outra). Então temos:

0 ≤ x ≤ 2

Beleza, então vamos escrever essa área D assim:

D = ( x , y | 0 ≤ x ≤ 2 ; x 2 ≤ y ≤ 2 x }

Passo 4

Agora vamos substituir na integral esses intervalos que encontramos:

volume W = ∫ 0 2 ∫ x 2 2 x x + y d y d x

Cuidado com a ordem dos diferenciais! Ela tem que acompanhar os intervalos da integrais.

Passo 5

Agora em relação a y :

= ∫ 0 2 x y + y 2 2 x 2 2 x d x =

= ∫ 0 2 2 x 2 + 2 x 2 - x 3 + x 4 2 d x =

= ∫ 0 2 4 x 2 - x 3 - x 4 2 d x =

Passo 6

Finalmente, em relação a x :

= 4 x 3 3 - x 4 4 - x 5 10 0 2 =

= 32 3 - 4 - 16 5 =

= 52 15

Resposta

volume W = 52 15

Exercício Resolvido #6

Calcule o volume do sólido delimitado pelo gráfico de:

z - x y = 0

y = x 2

y = - x + 3

y = 2 x

Passo 1

Bom, antes de mais nada, vamos desenhar essa região do enunciado.

Obs: Tem uma superfície de equação meio esquisita aí, não é?

z = x y

Não é necessário para essa questão que você saiba que superfície é essa, mas, a título de curiosidade, vamos mostrar aqui. Essa é uma cela, oblíqua aos eixos coordenados x e y :

Se você não soubesse disso na questão não tinha problema nenhum, basta você entender que essa superfície limita a região “por cima” dela, já que é a única equação do enunciado em que a coordenada z está presente. Bom, vamos lá.

Nós temos a superfície z = x y , que já vimos. Temos também y = x 2 , basta desenhar a reta no plano x y e alongar pelo eixo z , formando um plano. Fazemos o mesmo para os planos y = 2 x e y = - x + 3 .

Temos então a seguinte região:

Outro ângulo, para você visualizar melhor:

Beleza? Como o problema não menciona nenhum plano fechando a região por baixo, vamos assumir que z ≥ 0 , ou seja, que o volume é limitado pelo plano z = 0 . Agora, chamando de W essa região que acabamos de analisar, o problema pede então volume W .

Passo 2

Certo, agora precisamos escrever matematicamente essa região, ok? Vemos que, na coordenada z ela é limitada por duas funções ( z = x y e z = 0 ) e no plano x y , por uma área, que chamaremos de D .

Sendo assim, esse volume pode ser escrito da seguinte forma:

W = { ( x , y , z ) | x , y ∈ D ;   0 ≤ z ≤ x y }

volume W = ∬ D   x y - 0 d A

volume W = ∬ D   x y d A

Passo 3

Agora precisamos escrever matematicamente essa área D , como em qualquer integral dupla que já fizemos. Imagine o sólido visto de cima, temos isso aqui:

Essa é a área que limita W no plano x y . Vamos descrevê-la como uma região do tipo I, na coordenada y ela é limitada por funções e na coordenada x é limitada por números. Aqui não tem jeito, precisamos dividir essa região em duas, a da esquerda com 0 ≤ x ≤ 1 e a da direita com 1 < x ≤ 2 . Vamos chamá-las de D 1 e D 2 , D = D 1 ∪ D 2 .

A região da esquerda é limitada na coordenada y pela reta verde y = x / 2 e pela azul y = 2 x , enquanto a da esquerda é limitada pela reta roxa y = - x + 3 e pela verde y = x / 2 .

Podemos então escrever o seguinte:

D = D 1 ∪ D 2 = x , y | 0 ≤ x ≤ 1 ; x 2 ≤ y ≤ 2 x ∪ x , y | 1 < x ≤ 2 ; x 2 ≤ y ≤ - x + 3

Passo 4

Agora vamos substituir na integral esses intervalos que encontramos:

volume W = ∫ 0 1 ∫ x 2 2 x x y d y d x + ∫ 1 2 ∫ x 2 - x + 3 x y d y d x

Cuidado com a ordem dos diferenciais! Ela tem que acompanhar os intervalos da integrais.

Passo 5

Agora em relação a y :

= ∫ 0 1 x y 2 2 x 2 2 x d x + ∫ 1 2 x y 2 2 x 2 - x + 3 d x =

= ∫ 0 1 2 x 3 - x 3 8 d x + ∫ 1 2 x - x + 3 2 2 - x 3 8 d x =

= 15 8 ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 x 3 2 - 3 x 2 + 9 x 2 - x 3 8 d x =

Passo 6

Finalmente, em relação a x :

= 15 32 x 4 0 1 + x 4 8 - x 3 + 9 x 2 4 - x 4 32 1 2 =

= 15 32 + - x 3 + 9 x 2 4 + 3 x 4 32 1 2 =

= 15 32 - 8 + 9 + 3 2 + 1 - 9 4 - 3 32 =

= 13 8

Resposta

volume W = 13 8

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