Enunciado

Encontre a área da superfície.

A parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = b 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = a 2 , onde 0 < a < b .

Passo 1

Pessoal, se uma superfície S tem uma equaçao da forma z = f ( x , y ) , onde ( x , y ) ∈ D e se f tem derivadas parciais contínuas, temos que:

A S = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Passo 2

Dado que x 2 + y 2 + z 2 = b 2 , precisamos calcular primeiro as nossas derivadas parciais. Podemos reescrever a equação como z = ± b 2 - x 2 - y 2 . Vamos trabalhar primeiro com a parte positiva da esfera.

∂ z ∂ x = 1 2 b 2 - x 2 - y 2 ⋅ - 2 x = - x b 2 - x 2 - y 2

∂ z ∂ y = 1 2 b 2 - x 2 - y 2 ⋅ - 2 y = - y b 2 - x 2 - y 2

Portanto,

A S = ∬ 1 + - x b 2 - x 2 - y 2 2 + - y b 2 - x 2 - y 2 2 d A

A S = ∬ 1 + x 2 + y 2 b 2 - x 2 - y 2 d A = ∬ b 2 b 2 - x 2 - y 2   d A

Passo 3

Antes de resolver a integral, vamos passar para coordenadas polares, só pra facilitar um pouco a nossa vida.

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

onde, 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ r ≤ a .

Assim,

A S = ∫ 0 2 π ∫ 0 a b b 2 - r 2 r d r d θ = b ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a r √ ( b 2 - r 2 ) d r

A S = b ∫ 0 2 π d θ - b 2 - r 2 0 a

A S = b b - b 2 - a 2 θ 0 2 π

A S = 2 π b b - b 2 - a 2

Como esse valor corresponde somente a metade da área da esfera, a área completa será igual a:

A t S = 4 π b b - b 2 - a 2

Resposta

A área da superfície é:

A t S = 4 π b b - b 2 - a 2

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