Enunciado

Encontre a área da superfície.

O helicoide (ou uma rampa espiral) com a equação vetorial r u , v = u cos ⁡ v i + u sen ⁡ v j + v k , 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ π .

Passo 1

Galera, pra calcular a área da superfície, podemos usar a seguinte equação:

A S = ∬ r u × r v d A

Passo 2

Dado que   r u , v = u cos ⁡ v i + u sen ⁡ v j + v k , precisamos calcular primeiro as nossas derivadas parciais. Assim,

r u = ∂ r ∂ u = cos ⁡ v i + sen ⁡ v j + 0 k

r v = ∂ r ∂ v = - u sin ⁡ v i + u cos ⁡ v j + k

Vamos calcular o produto vetorial:

r u × r v = i j k cos ⁡ v sen ⁡ v 0 - u sen ⁡ v u cos ⁡ v 1

r u × r v = i s e n   v 0 u cos ⁡ v 1 - j cos ⁡ v 0 - u sin ⁡ v 1 + k cos ⁡ v sen ⁡ v - u sen ⁡ v u cos ⁡ v

r u × r v = ( sin ⁡ v - 0 ) i - cos ⁡ v - 0 j + u cos 2 ⁡ v + u sin 2 ⁡ v k

r u × r v = ( sin ⁡ v ) i - cos ⁡ v j + u k

r u × r v = sin ⁡ v 2 + - cos ⁡ v 2 + u 2 = 1 + u 2

Passo 3

Vamos resolver a integral!

A S = ∬ r u × r v   d A = ∬ 1 + u 2 d A

Dado que 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ π ,

A S = ∫ 0 1 ∫ 0 π 1 + u 2 d v d u

A S = ∫ 0 1 v 1 + u 2 0 π d u

A S = π ∫ 0 1 1 + u 2 d u

Usando a tabela de integrais, temos o seguinte resultado:

A S = π u 2 1 + u 2 + 1 2 ln ⁡ u + 1 + u 2 0 1

A S = π 1 2 2 + 1 2 l n 1 + 2 - 0

A S = π 2 2 + π 2 l n ( 1 + 2 )

Resposta

A área da superfície é:

A S = π 2 2 + π 2 l n ( 1 + 2 )

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