Enunciado

Calcular a área da superfície do tetraedro cujas faces são partes dos planos z = 0 , y = 0 , x + 4 y + 2 z = 8 e - 2 x + 4 y + 2 z = 8

Passo 1

De maneira simples, temos que lembrar que o cálculo da área de uma superfície é dada por

A S = ∬ R 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x   d y

Assim precisamos apenas conhecer nossa funções z e nossos limites de integração.

Passo 2

Novamente temos um exercício desafiador. Sim acho que esse vai dar um trabalho.

Vamos obviamente trabalhar cada superfície separada definindo seus limites de integração e ao fim integrar todas.

Começando com a superfície que está no plano z = 0 .

Devemos encontrar como os outros planos cruzam com esse em específico.

Já sabemos que o plano y = 0 nos indica que estamos trabalhando, por enquanto, com o plano z = 0 na qual y ≥ 0   o u   y ≤ 0 .

Agora analisando o plano x + 4 y + 2 z = 8 , em z = 0 temos y = 2 - x / 4

E com o plano - 2 x + 4 y + 2 z = 8 , em z = 0 temos = y = 2 + x / 2

Assim, se visualizando a superfície que forma no plano x y , teremos

Na qual a superfície que nos interessa é essa cercada pelas nossas retas indicadas acima.

Vamos confirmar os valores encontrados.

Quando

2 + x 2 = 2 - x 4 → x = 0 → y = 2

Para a reta y = 2 + x / 2 , quando y = 0 → x = - 4 e para reta y = 2 - x / 4 , quando y = 0 → x = 8 .

Nossa integral pode ser escrita como

A S 1 = ∫ - 4 0 ∫ 0 2 + x 2 d y   d x + ∫ 0 8 ∫ 0 2 - x 4 d y   d x

Que não é uma integral difícil de resolver

A S 1 = ∫ - 4 0 2 + x 2 d x + ∫ 0 8 2 - x 4 d x

E por fim

A S 1 = 2 x + x 2 4 - 4 0 + 2 x - x 2 8 0 8 = 8 - 4 + 16 - 8 = 12

Passo 3

Vamos para a próxima superfície?

Vamos tomar o plano y = 0 . Quando o mesmo cruza com o plano z = 0 , temos que, ou ficamos com a parte onde z ≥ 0 ou a parte onde z ≤ 0 . Isso vamos saber analisando como os outros planos cruzam com o plano y = 0 .

Agora analisando o plano x + 4 y + 2 z = 8 , em y = 0 temos z = 4 - x / 2

E com o plano - 2 x + 4 y + 2 z = 8 , em z = 0 temos = z = 4 + x

Para a reta z = 4 - x / 2 quando x = 0 → z = 4 e quando z = 0 → x = 8 .

Para a reta z = 4 + x quando x = 0 → z = 4 e quando z = 0 → x = - 4 .

Já sabemos que as retas se encontram em x = 0 quando z = 4 , pois as duas retas apresentaram o mesmo valor. Assim temos

Que é nosso gráfico no plano x z . Da mesma forma que a superfície anterior, teremos que nossa integral é escrita em duas partes.

A S 2 = ∫ - 4 0 ∫ 0 4 + x d z   d x + ∫ 0 8 ∫ 0 4 - x / 2 d z   d x

Que também não é uma integral difícil de resolver

A S 2 = ∫ - 16 0 4 + x d x + ∫ 0 32 4 - x / 2 d x

E por fim

A S 1 = 4 x + x 2 2 - 4 0 + 4 x - x 2 4 0 8 = 16 - 8 + 32 - 16 = 24

Passo 4

Agora Vamos analisar a próxima superfície no plano x + 4 y + 2 z = 8

Primeiro vamos calcular o fator de integração, ou seja, tome que f x , y = 4 - x 2 - 2 y

Assim teremos que nossas derivadas direcionais são:

∂ z ∂ x = - 1 2

E

∂ z ∂ y = - 2

Assim ficamos com

1 + - 1 2 2 + - 2 2 = 21 2

Onde agora precisamos descobrir os limites de integração. Devemos lembrar que nossos limites estão relacionados com a projeção que nossa superfície faz no nosso plano x y , assim vamos tomar quando z = 0 , ficando com

y = 2 - x / 4

Que se a gente observar bem a primeira Fig, tínhamos que essa era a equação que esse plano produzia no plano x y . Então teremos que nossa integral pode ser escrita como

A S 3 = ∫ 0 8 ∫ 0 2 - x 4 21 2   d y   d x

Resolvendo, temos

A S 3 = 21 2 2 x - x 2 8 0 8 = 21 2 16 - 8 = 4 21

Passo 5

Seguindo a mesma ideia acima para o outro plano, temos que

f x , y = z = 4 + x - 2 y

Calculando as derivadas direcionais, temos

∂ z ∂ x = 1  

E

∂ z ∂ y = - 2

Assim o fator de integração será

1 + 1 2 + - 2 2 = 6

A reta que intercepta o plano z = 0 é

y = 2 + x / 2

Que é vista na FIg 1.

Assim nossa integral será

A S 4 = ∫ - 4 0 ∫ 0 2 + x 2 6   d y   d x

Que será

A S 4 = 6 2 x + x 2 4 - 4 0 = 6 8 - 4 = 4 6

Passo 6

Assim por fim, finalmente teremos que

A S =   A S 1 + A S 2 + A S 3 + A ( 4 )

A S = 12 + 24 + 4 21 + 4 6

Resposta

( 36 + 4 21 + 4 6 )   u . a

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Calcule a área da parte do paraboloide elíptico z = x 2 + 2 y 2 que se encontra dentro do cilindro 4 x 2 + 16 y 2 ≤ 1 .
Seja K o conjunto do plano x y limitado pelas curvas (em coordenadas polares) ρ = t gθ , 0θπ 2 ,eθ = π 4 . Calcule a área da superfície z = x y , x , y ∈ K .
Seja K o conjunto do plano x y limitado pelas curvas (em coordenadas polares) ρ 2 = cos ⁡ 2 θ , - π 4 ≤ θ ≤ π 4 ,eθ = π 4 . Calcule a área da superfície z = x y , x , y ∈ K .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: f x , y , z = x ;σ u , v = u ,v ,u 2 + v ,0 ≤ u ≤ 1eu 2 ≤ v ≤ 1 .
Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: g )f x , y , z = z ;σ é a parte da superfície z 2 = x 2 + y 2 que se encontra acima do paraboloide 4 z = x 2 + y 2 + 3 .