Enunciado

Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18

Dentro do círculo r = 4 cos ⁡ θ e à direita da reta vertical r = s e c   θ .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto de aplicação, primeiro vamos encontrar a figura a partir do geogebra para entender do que se trata e delimitar os limites e depois, só precisamos botar na fórmula do calculo da área a partir da integral.

A = ∫ β α 1 2 ( r a 2 - r b 2 ) d θ

Essa é a nossa figura:

Temos 2 regiões distintas com limites diferentes, vamos calcula-los então:

r = r

4 cos ⁡ θ = sec ⁡ θ

cos 2 ⁡ θ = 1 4

θ = π 3  

Portanto, π / 3 é o nosso ponto de intersecção. Assim, os limites vão de 0 a π / 3 , além disse deve-se multiplicar a área por 2, devido a simetria no eixo y.

Passo 2

A = 2 ∫ 0   π / 3 1 2 16 c o s 2 θ - s e c 2 θ d θ

A = ∫ 0   π / 3 8 + 8 cos ⁡ 2 θ - s e c 2 θ d θ

A = ∫ 0   π / 3 8 d θ + ∫ 0   π / 3 8 cos ⁡ 2 θ d θ - ∫ 0   π / 3 s e c 2 θ d θ

A = 8 θ + 4 s e n   2 θ - tg ⁡ θ 0 π / 3

A = 8 π 3 + 2 3 - 3 - ( 0 + 0 - 0 )

A = 8 π 3 + 3

Bora para a próxima!

Resposta

A = 8 π 3 + 3

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