Enunciado

A área da região que está dentro da curva cardioide r = cos ⁡ θ + 1 e fora do circulo r = cos ⁡ θ não é

1 2 ∫ 0 2 π cos ⁡ θ + 1 2 - cos 2 ⁡ θ d θ = π  

Por que não? Qual é a área? Justifique suas respostas.

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício tranquilo, como de praxe, devemos saber quem é a nossa figura, para isso vamos utilizar o Geogebra para desenha-la.

Essa é a nossa figura:

Não podemos utilizar a fórmula enunciada pois a área do círculo não precisa ser integrada, já sabemos ela. Além disse, os limites de integração da cardioide não são de 0 a 2 π como vermos a seguir.

Passo 2

Agora, vamos entender qual é a área que devemos calcular.

Como o circulo está dentro da cardioide, devemos primeiro calcular a área da cardioide e depois retirar a área do círculo.

Para o cálculo da cardioide precisamos saber quem são os limites, então:

r : cos ⁡ θ + 1 = 0

θ = π

Lembrando que tem a simetria no eixo y, portanto a área deve ser multiplicada por 2.

A = 2 ∫ 0 π 1 2 cos ⁡ θ + 1 2 d θ = ∫ 0 π cos 2 ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ + 1 d θ

A = ∫ 0 π 1 + cos ⁡ 2 θ 2 + 2 cos ⁡ θ + 1 d θ

A = ∫ 0 π 3 2 d θ + ∫ 0 π cos ⁡ 2 θ 2 d θ + ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ

A = 3 θ 2 + s e n   2 θ 4 + 2 s e n   θ 0 π = 3 π 2

Passo 3

Por fim, para saber a área hachurada, basta subtrair a área da cardioide da área do círculo:

A = 3 π 2 - π 1 2 2 = 5 π 4

Resposta

A área enunciada não pode ser considerada devido pois o círculo está em ambos os eixos de 0 a 2 π , portanto, A = 5 π 4 .

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