Enunciado

Encontre as áreas das regiões no plano de coordenadas polares descritas nos Exercícios 47-50.

Dentro da cardioide r = 2(1 + sen θ) e fora do círculo r = 2 sen θ.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre áreas em coordenadas polares.

Para determinarmos a área pedida, devemos entender que o círculo fica dentro da cardioide.

Desta forma:

A = 2 ∫ - π / 2 π / 2 1 2 [ 2 1 + sen ⁡ θ 2 ] d θ - π

Pois fazemos a área da cardioide menos a área do círculo.

Passo 2

Reescrevendo e integrando obtemos:

A = ∫ - π / 2 π / 2 4 + 2 s e n   θ + s e n 2 θ d θ - π = ∫ - π / 2 π / 2 6 + 8 s e n   θ - 2 cos ⁡ 2 θ d θ - π =

= 6 θ - 8 cos ⁡ θ - s e n   2 θ | - π / 2 π / 2 - π =

= 6 π 2 - - π 2 - 8 cos ⁡ π 2 - cos ⁡ - π 2 - ( s e n   π - s e n   - π - π =

= 6 π - 8 0 - 0 - 0 - 0 - π = 6 π - π = 5 π

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

5 π

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