Enunciado

Encontre os comprimentos das curvas dadas pelas equações de coordenadas polares nos Exercícios 51-54.

r = 1 + cos ⁡ 2 θ ; - π 2 ≤ θ ≤ π 2

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre comprimentos em coordenadas polares.

Para determinarmos o comprimento pedido, usaremos a formulação:

L = ∫ θ 1 θ 2 r 2 + d r d θ 2 d θ

Vamos derivar r em relação a θ:

d r d θ = d d θ 1 + cos ⁡ 2 θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ - 1 / 2 ∙ d d θ 1 + cos ⁡ 2 θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ ∙ - 2 s e n   2 θ = - s e n   2 θ 1 + cos ⁡ 2 θ

Teremos então que:

L = ∫ - π / 2 π / 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 + - s e n   2 θ 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ - π / 2 π / 2 1 + cos ⁡ 2 θ + s e n 2   2 θ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ =

= ∫ - π / 2 π / 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 + s e n 2   2 θ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = ∫ - π / 2 π / 2 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ + s e n 2   2 θ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ =

= ∫ - π / 2 π / 2 2 + 2 cos ⁡ 2 θ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ = ∫ - π / 2 π / 2 2 d θ

Passo 2

Integrando e substituindo os limites de integração obtemos:

L = 2 θ | - π / 2 π / 2 = 2 π 2 - - π 2 = 2 π

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

2 π

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