Enunciado

Encontre as assíntotas horizontais e verticais.

y = x x + 4

Passo 1

Olá, meu amigo. Aqui a questão nos pede para que a gente encontre as assíntotas verticais e horizontais da função dada.

y = x x + 4

Para encontrar a assíntota horizontal de uma função, tomaremos o limite da função quando x → ± ∞ .

Já para encontrarmos a assíntota vertical é muito simples e você vai ver, devemos pensar o seguinte “Para que ponto que quando x se aproxima a função ‘explode’ para infinito”.

Como na nossa função temos uma divisão, isso vai ocorrer quando estivermos próximo de dividir por zero.

Passo 2

Para a assíntota vertical, precisamos encontrar a tal que:

lim x → a ⁡ x x + 4 = ± ∞

Para a = - 4 a condição de assíntota é satisfeita, pois quando mais próximo de 0 é o denominador, maior será o numerador, ou seja, x + 4 → 0 ocorre quando x → - 4 , logo x = - 4 é uma assíntota vertical.

Note que os valores de a são calculados igualando o denominador a 0 e encontrando os valores de x .

Passo 3

Já para a assíntota horizontal, faremos:

l i m x → ± ∞ x x + 4

Nesse limite, devemos colocar o x de maior potência do denominador e do numerador em evidência:

l i m x → ± ∞ x x   1 1 + 4 x

Dessa forma, podemos cortar x / x

l i m x → ± ∞ 1 1 + 4 x

E quando x   tende a infinito, temos que 4 / x tende a zero, logo:

l i m x → ± ∞ 1 1 + 0 = l i m x → ± ∞ 1 1 = 1

Portanto, temos uma assíntota horizontal em y = 1 .

Passo 4

Mostraremos agora uma comprovação gráfica do resultado obtido

Resposta

y = 1 é uma assíntota horizontal.

x = - 4 é uma assíntota vertical.

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