Enunciado

Utilize limites para determinar as equações para todas as assíntotas horizontais.

y   =   x 2   +   9 9 x 2   +   1

Passo 1

Primeiro, devemos saber que uma reta y   =   b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função se:

lim x → ∞ ⁡ y   =   b

Ou

lim x → - ∞ ⁡ y   =   b

Passo 2

Assim, tendo conhecimento sobre a definição de uma assíntota horizontal, devemos calcular os seguintes limites

l i m x → ∞     x 2   +   9 9 x 2   +   1

l i m x → - ∞   x 2   +   9 9 x 2   +   1

Passo 3

Resolvendo o primeiro limite:

Devemos dividir todas as expressões pelo termo de maior ordem do denominador.

l i m x → ∞   x 2   +   9 9 x 2   +   1   ∙   1 x 2 1 x 2

l i m x → ∞     x 2 x 2   +   9 x 2 9 x 2 x 2   +   1 x 2  

l i m x → ∞     1   +   9 x 2 9   +   1 x 2  

1   +   9 ∞ 2 9   +   1 ∞ 2

1   +   0 9   +   0   =   1 9     =   1 3

Logo, a reta y   =   1 3 é uma assíntota horizontal

Passo 4

Resolvendo o segundo limite:

Devemos dividir todas as expressões pelo termo de maior ordem do denominador.

l i m x → - ∞   x 2   +   9 9 x 2   +   1   ∙   1 x 2 1 x 2

l i m x → - ∞     x 2 x 2   +   9 x 2 9 x 2 x 2   +   1 x 2  

l i m x → - ∞     1   +   9 x 2 9   +   1 x 2  

1   +   9 ( - ∞ ) 2 9   +   1 ( - ∞ ) 2

1   +   0 9   +   0   =   1 9     =   1 3

Obtemos o mesmo resultado obtido anteriormente, logo a função só possui uma assíntota horizontal.

Resposta

A reta y   =   1 3 .

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