Enunciado

Encontre as assíntotas horizontal e vertical de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das estimativas das assíntotas.

y = x - 9 4 x 2 + 3 x + 2

Passo 1

Olá, meu amigo. Pronto para mais uma resolução?

Aqui a gente tem a função:

y = x - 9 4 x 2 + 3 x + 2

E devemos encontrar suas assíntotas verticais e horizontais. Além disso, iremos plotar o seu gráfico para conferir se nosso trabalho foi bem feito.

Antes de darmos início vamos ao resumo sobre as assíntotas.

Assíntotas Verticais: As assíntotas verticais ocorrem quando a função se aproxima de um determinado valor de x , mas nunca o alcança. Elas são encontradas onde o denominador da função se torna zero, mas o numerador não. De modo geral, as assíntotas verticais ocorrem em pontos que levam o limite da nossa função ao infinito, em pontos onde nossa função não está definid.

2. Assíntotas Horizontais: As assíntotas horizontais ocorrem quando a função se aproxima de um determinado valor de y , à medida que x se aproxima do infinito ou menos infinito. Para determinar as assíntotas horizontais, você precisa verificar o comportamento da função quando x se torna muito grande (positivo ou negativo). Se a função se aproxima de um valor específico de y à medida que x se torna muito grande (positivo ou negativo), então há uma assíntota horizontal nesse valor de y .

Lembre-se de que nem todas as funções têm assíntotas verticais ou horizontais. Então é isso, vamos analisar os limites da nossa função e a partir deles é que iremos encontrar as assíntotas.

Passo 2

Começaremos com a assíntota horizontal, temos que fazer:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x )   e   lim x → - ∞ ⁡ f ( x )

Se der um número real, a assíntota será esse número. Caso dê infinito não teremos assíntota horizontal. Vamos para o cálculo!

lim x → + ∞ ⁡ f x = l i m x → + ∞ x - 9 4 x 2 + 3 x + 2

Como o limite aqui vai para infinito, vamos simplificar de forma a termos a x n e esses termos serem zerados no calculo do limite:

= l i m x → + ∞ x 1 - 9 x x 2 4 + 3 x + 2 x 2

Tirando o x 2 de dentro da raiz, lembrando o que fica fora é o módulo.

l i m x → + ∞ x 1 - 9 x x 4 + 3 x + 2 x 2

Sabendo que x = x para x > 0 .

E que x = - x para x < 0 .

Voltando para a expressão:

l i m x → + ∞ x 1 - 9 x x 4 + 3 x + 2 x 2

Reduzindo os dois x e colocando o limite em todas as parcelas, temos:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x → + ∞ 1 - l i m x → + ∞ 9 x l i m x → + ∞ 4 + l i m x → + ∞ 3 x + l i m x → + ∞ 2 x 2 =

Calculando individualmente cada limite:

l i m x → + ∞ 1 = 1

l i m x → + ∞ 4 = 4

l i m x → + ∞ 2 x 2 = 0

l i m x → + ∞ 3 x = 0

l i m x → + ∞ 9 x = 0

Substituindo tudo para dentro do limite, temos isso aqui:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x → + ∞ 1 - l i m x → + ∞ 9 x l i m x → + ∞ 1 + l i m x → + ∞ 3 x + l i m x → + ∞ 2 x 2

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x → + ∞ 1 l i m x → + ∞ 4 = 1 2

Então, temos assíntota horizontal para x positivo e é a reta y = 1

Passo 3

Agora para x → - ∞ :

Sabendo que x = - x para x < 0

Voltando para a expressão, temos:

l i m x → - ∞ x 1 - 9 x - x 4 + 3 x + 2 x 2

Reduzindo os dois x e colocando o limite em todas as parcelas, temos:

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x → - ∞ 1 - l i m x → - ∞ 9 x - l i m x → - ∞ 4 + l i m x → - ∞ 3 x + l i m x → - ∞ 2 x 2

Substituindo tudo para dentro do limite, temos isso aqui:

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x → - ∞ 1 - l i m x → - ∞ 9 x - l i m x → - ∞ 4 + l i m x → - ∞ 3 x + l i m x → - ∞ 2 x 2

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = - l i m x → + ∞ 1 l i m x → + ∞ 4 = - 1 2

Então, temos assíntota horizontal para x negativo e é a reta y = - 1 .

Resumindo, quando estivermos caminhando para valores absurdamente grandes de x > 0 , teremos uma assíntota em y = 1 mas quando estiver caminhando para valores absurdamente grandes de x < 0 teremos uma assíntota em y = - 1

Passo 4

Lembra como fazemos as assíntotas verticais?

Os candidatos a assíntotas verticais são os pontos em que a função não está definida.

Para vermos se há algum ponto que não existe, temos que anular o denominador ou torná-lo negativo.

g ( x ) = 4 x 2 + 3 x + 2

4 x 2 + 3 x + 2 = 0

Δ = 9 - 4 4 2

Δ = - 23

Isso significa que a nossa função não possui zeros, e por seu termo a = 4 > 0 ela também é positiva para todos os números reais. Sendo assim, não temos pontos de indeterminação nessa função e ela não possui assíntotas verticais.

Vamos então plotar o gráfico com ajuda do GeoGebra e ver se estamos certos.

Resposta

y = 1

y = - 1

Sem assíntotas verticais.

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