Enunciado

Encontre os limites quando x → ∞ e quando x → - ∞ . Use essa informação, bem como os interceptos, para fazer um esboço do gráfico, como no Exemplo 11.

y = x 2 x - 2 1 - x

Passo 1

E aí, tudo bom?! Temos a curva:

y = x 2 x - 2 1 - x

E queremos calcular os limites:

lim x → ∞ ⁡ x 2 x - 2 1 - x

lim x → - ∞ ⁡ x 2 x - 2 1 - x

Pra calcular esses limites vamos lembrar que o limite de um produto é o produto dos limites, assim:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x × lim x → a ⁡ g x

Depois a gente vai os limites pra esboçar o gráfico de y ! Vamos também calcular os pontos onde a curva intercepta os eixos x e y !

Passo 2

Vamos começar com:

lim   x → ∞ ⁡ x 2 x - 2 1 - x

Podemos escrever:

lim   x → ∞ ⁡ x 2 × lim   x → ∞ ⁡ x - 2 × lim   x → ∞ ⁡ 1 - x

Calculando os limites individualmente:

l i m   x → ∞ x 2 = + ∞

l i m   x → ∞ x - 2 = + ∞

l i m   x → ∞ 1 - x = - ∞

Então:

lim   x → ∞ ⁡ x 2 x - 2 1 - x = - ∞

Passo 3

Agora vamos calcular:

lim   x → - ∞ ⁡ x 2 x - 2 1 - x

Olhando pra cada limite individualmente:

l i m   x → - ∞ x 2 = + ∞

l i m   x → - ∞ x - 2 = - ∞

l i m   x → - ∞ 1 - x = + ∞

Então:

lim   x → - ∞ ⁡ x 2 x - 2 1 - x = - ∞

Passo 4

Show, bora começar a pensar no esboço do gráfico?!

y = x 2 x - 2 1 - x

Teremos um produto de 3 parcelas, então y = 0 quando qualquer uma dessas parcelas for igual a zero. Assim temos:

x = 0

x = 2

x = 1

Então temos os pontos 0,0 , 1,0 ,   2,0 .

Passo 5

Agora a gente vai pensar nas informações que a gente tem! Trazendo a função pra pertinho da gente também:

y = x 2 x - 2 1 - x

  • Pra valores de x muito grandes e negativos o y vai pra menos infinito;
  • Em x = 0 a curva intercepta a origem. Se antes disso o x tava vindo do infinito negativo e o y do infinito negativo, então essa curva toca o eixo de baixo pra cima e da esquerda pra direita;
  • Em x = 1 a curva intercepta o eixo x . Mas se a gente dar uma olhada na nossa curva percebemos que para 0 < x < 1 o y é sempre negativo. Isso significa que a curva sai do - ∞ , toca a origem, volta a ser negativo e depois sobe de novo pra tocar o eixo x em x = 1 ;
  • Como em x > 1   temos y > 0 , então x = 2 a curva intercepta o eixo x de cima pra baixo e da esquerda para a direita.
  • Depois de x = 2 e pra valores de x muito grandes e positivos o y vai pra menos infinito;
  • Quando calculamos os limites a gente viu que o x tendia pra infinito mas o y era a multiplicação de 3 infinitos. Isso significa que o y sempre vai pra infinito mais rápido que o x .

Passo 6

Finalmente podemos plotar a nossa curva:

Prontinho!!!

Resposta

lim   x → ∞ ⁡ x 2 x - 2 1 - x = - ∞

lim   x → - ∞ ⁡ x 2 x - 2 1 - x = - ∞

Esboço do gráfico.

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Calcule o limite.underset(x - - oo)(lim) (- 5 x^3 + 2)/(7 x^3 + 3)
Calcule o limite.underset(x - oo)(lim) (2 - (1)/(x) + (4)/(x^2))
Se f (x) = (1)/((x + 2)^2) , calcule:underset(x - - 2)(lim) f (x) underset(x - oo)(lim) f (x)
Calcule o limite.underset(x - - oo)(lim) (x^3 - 2 x + 1)/(x^2 - 1)
Calcule o limite.underset(x - - oo)(lim) (3 x^5 - x^2 + 7)/(2 - x^2)