Enunciado

Para quais valores da constante c a função   f é contínua em - ∞ , ∞ ?

f ( x ) = c x + 1   ,   s e   x ≤ 3 c x 2 - 1 ,   s e   x > 3

Passo 1

Opaaa... Tudo bem??

Nessa questão vamos calcular para quais valores de c a função f :

f ( x ) = c x + 1   ,   s e   x ≤ 3 c x 2 - 1 ,   s e   x > 3

é continua em - ∞ , ∞

OBS.: em algumas impressões do livro a função está impressa errada. Aparece um tal de “csc”, mas isso não faz nem sentido, ok!?

f ( x ) tem de ser contínua para todos os valores reais, porém para o ponto x = 3 , teremos um problema, já que a função muda de expressão, nos focaremos, então no ponto x = 3 .

Pra uma função f ser contínua em um número a , temos que ver três coisas:

- f a está definida, o que quer dizer que a está no domínio de f ;

- lim x → a ⁡ f x   existe, o que quer dizer que os seus limites laterais são iguais:

lim x → a + ⁡ f ( x ) = lim x → a - ⁡ f ( x ) = lim x → a ⁡ f ( x )

- lim x → a ⁡ f x = f a , o que quer dizer que o limite naquele ponto tem que ser igual à função naquele ponto.

Passo 2

Para f ( x ) ser contínua no ponto x = 3 , temos que:

- f 3 está bem definida, pois 3 está dentro do intervalo que ele deu de - ∞ , ∞ ;

- lim x → 3 ⁡ f ( x ) exista, isso quer dizer que:

lim x → 3 + ⁡ f ( x ) = lim x → 3 - ⁡ f ( x ) = lim x → 3 ⁡ f ( x )

- E ainda que f ( 3 ) = lim x → 3 ⁡ f ( x ) .

Passo 3

Usaremos a primeira condição para calcular c :

Lembre que para x > 3 , temos f ( x ) =   c x 2 - 1 , então usaremos essa expressão no cálculo do limite à direita de 3 :

lim x → 3 + ⁡ f ( x ) = l i m x → 3 c x 2 - 1 = 9 c - 1

Da mesma forma, pensaremos para x ≤ 3 , mas temos outra expressão, que é f ( x ) =   c x + 1 , usaremos essa expressão no limite à esquerda de 3:

lim x → 3 - ⁡ f ( x ) = l i m x → 3 ( c x + 1 ) = 3 c + 1

Não esqueça o que deve ocorrer para essa função ser contínua. Lembra?

Os limites laterais tem de ser iguais:

Então:

9 c - 1 = 3 c + 1

6 c = 2

c = 1 3

Resposta

c = 1 3

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