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Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função

f x = 1 + 1 x 2

Passo 1

Vamos começar pelas assíntotas horizontais.

Para encontra-las demos que calcular dois limites

lim x → + ∞ ⁡ f x

E

lim x → - ∞ ⁡ f x

Se agum desses limites der algum número, então teremos assíntotas horizontais.

Vamos começar com

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 2

Esse limite vai ser

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 = 1 - 1 + ∞

Um número divido por vai dar 0 . Então teremos

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 = 1 + 1 + ∞ = 1 + 0 = 1

Assim, temos

y = 1

Como uma assíntota horizontal.

Passo 2

Vamos para o outro limite

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x 2

Esse limite vai ser

lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 = 1 + 1 + ∞

Um número divido por vai dar 0 . Então teremos

lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 = 1 + 1 + ∞ = 1 + 0 = 1

Assim, temos

y = 1

Como uma assíntota horizontal.

Passo 3

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

x 2 = 0

x = 0

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais, para entender o comportamento da função. Ou seja, calcular

lim x → 0 + ⁡ f x

E

lim x → 0 - ⁡ f x

Passo 4

Começando com

lim x → 0 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x 2 = 1 + 1 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 0 , neste caso, pela direita.

Pela direita, significa pegar valores maiores que 0 , logo o nosso denominador, que é x 2 , vai assumir valores maiores que 0 , sendo positivo.

E isso nos diz que

lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x 2 = 1 + 1 0 = 1 + ∞

Somar 1 no + ∞ não muda o + ∞ . Então

lim x → 0 + ⁡ 1 + 1 x 2 = 1 + ∞ = + ∞

Passo 5

Começando com

lim x → 0 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 0 - ⁡ 1 + 1 x 2 = 1 + 1 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 0 , neste caso, pela esquerda.

Pela esquerda, significa pegar valores menores que 0 , logo o nosso denominador, que é x 2 , vai assumir valores maiores que 0 , sendo positivo.

lim x → 0 - ⁡ 1 + 1 x 2 = 1 + 1 0 = 1 + ∞

Somar o 1 no + ∞ não muda o + ∞

E isso nos diz que

lim x → 0 - ⁡ 1 + 1 x 2 = 1 + 1 0 = 1 + ∞ = + ∞

Passo 6

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = 0

É assíntota vertical.

Vamos juntar com nossa assíntota horizontal

y = 1

E ver como fica o esboço.

O esboço vai ficar

Resposta

Assíntota horizontal:

y = 1

Assíntota vertical:

x = 0

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