Enunciado

  1. Calcule underset(x -> + oo)(lim) (x^3 + 3 x - 1)/(2 x^3 - 6 x + 1)
  2. Mostre que existe r > 0 tal que

x > r ⟹ (1)/(4) < (x^3 + 3 x - 1)/(2 x^3 - 6 x + 1) < (3)/(4)

Passo 1

  1. Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo (1)/(x^n) que tendem a zero para x -> + oo , pois assim fica simples de resolver o limite.
  2. Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador:

    underset(x -> + oo)(lim) (x^3 + 3 x - 1)/(2 x^3 - 6 x + 1) = underset(x -> + oo)(lim) (x^3 (1 + (3)/(x^2) - (1)/(x^3)))/(x^3 (2 - (6)/(x^2) + (1)/(x^3))) = underset(x -> + oo)(lim) (1 + (3)/(x^2) - (1)/(x^3))/(2 - (6)/(x^2) + (1)/(x^3))

    Temos que podemos usar a propriedade da divisão, da soma e da subtração nesse limite:

    underset(x -> + oo)(lim) (1 + (3)/(x^2) - (1)/(x^3))/(2 - (6)/(x^2) + (1)/(x^3)) = (underset(x -> + oo)(lim) 1 + (3)/(x^2) - (1)/(x^3))/(underset(x -> + oo)(lim) 2 - (6)/(x^2) + (1)/(x^3)) = (underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x^2) - underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^3))/(underset(x -> + oo)(lim) 2 - underset(x -> + oo)(lim) (6)/(x^2) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^3))

    Vamos resolver eles separadamente.

    Passo 2

    Calculando os do numerador:

    No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

    underset(x -> p)(lim) k = k

    underset(x -> + oo)(lim) 1 = 1

    Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com (1)/(x^2) que também tende a zero para x -> + oo :

    underset(x -> p)(lim) k f (x) = k (underset(x -> p)(lim) f (x))

    underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x^2) = 3 * underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2) = 3 * 0 = 0

    No terceiro temos (1)/(x^3) que tende a zero para x -> + oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x^3) vai está:

    underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^3) = 0

    Passo 3

    Agora no denominador:

    No primeiro temos também o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

    underset(x -> p)(lim) k = k

    underset(x -> + oo)(lim) 2 = 2

    Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com (1)/(x^2) que também tende a zero para x -> + oo :

    underset(x -> p)(lim) k f (x) = k (underset(x -> p)(lim) f (x))

    underset(x -> + oo)(lim) (6)/(x^2) = 6 * underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2) = 6 * 0 = 0

    Por último, no terceiro temos (1)/(x^3) que tende a zero para x -> + oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x^3) vai está:

    underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^3) = 0

    Passo 4

    Por último é só juntar os resultados e pronto:

    underset(x -> + oo)(lim) (x^3 + 3 x - 1)/(2 x^3 - 6 x + 1) = (underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x^2) - underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^3))/(underset(x -> + oo)(lim) 2 - underset(x -> + oo)(lim) (6)/(x^2) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^3)) = (1 + 0 - 0)/(2 - 0 + 0) = (1)/(2)

    Passo 5

  3. Vamos dar uma olhada na definição precisa de limite, temos que:

underset(x -> a)(lim) f (x) = L

se para todo número epsilon > 0 houver um número delta > 0 tal que

se a - delta < x < a + delta então L - epsilon < f (x) < L + epsilon

Para provar vamos aplicar a definição de limite com epsilon = (1)/(4) existe r > 0 , temos então que:

L - epsilon = (1)/(4) -> L - (1)/(4) = (1)/(4) -> L = (1)/(4) + (1)/(4) -> L = (2)/(4) = (1)/(2)

L + epsilon = (3)/(4) -> L + (1)/(4) = (3)/(4) -> L = (3)/(4) - (1)/(4) -> L = (2)/(4) = (1)/(2)

Assim:

x > r ⟹ (1)/(2) - (1)/(4) < (x^3 + 3 x - 1)/(2 x^3 - 6 x + 1) < (1)/(2) + (1)/(4)

Resposta

  1. underset(x -> + oo)(lim) (x^3 + 3 x - 1)/(2 x^3 - 6 x + 1) = (1)/(2)
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