Enunciado

Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função

f x = x 2 4 - x 2

Passo 1

Vamos começar pelas assíntotas horizontais.

Para encontra-las demos que calcular dois limites

lim x → + ∞ ⁡ f x

E

lim x → - ∞ ⁡ f x

Se agum desses limites der algum número, então teremos assíntotas horizontais.

Vamos começar com

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 4 - x 2

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para .

Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

x 2 4 - x 2

Passo 2

O nosso numerador é

x 2

Aqui só temos 1 termo, então não precisamos colocar ninguém em evidência.

Passo 3

O nosso denominador vai ser

4 - x 2

Colocando x 2 em evidência

x 2 4 x 2 - 1

Passo 4

A nossa fração vai ficar

x 2 4 - x 2 = x 2 x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 x 2 - 1

Agora, vamos tomar o limite

lim x → + ∞ ⁡ x 2 4 - x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 4 x 2 - 1

Lembrando que o limite de um número sobre é sempre 0 , vamos ter

lim x → + ∞ ⁡ 1 4 x 2 - 1 = 1 0 - 1 = 1 - 1 = - 1

Assim, temos

y = - 1

Como uma assíntota horizontal.

Passo 5

Vamos para o outro limite

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 4 - x 2

Temos a mesma situação de antes, então já podemos utilizar aquela fração final

lim x → - ∞ ⁡ x 2 4 - x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 4 x 2 - 1 = 1 0 - 1 = 1 - 1 = - 1

Teremos

y = - 1

Como assíntota horizontal.

Passo 6

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

4 - x 2 = 0

4 = x 2

x 2 = 4

x = ± 4

x = ± 2

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais para cada x que achamos. Ou seja, calcular

lim x → 2 + ⁡ f x

E

lim x → 2 - ⁡ f x

lim x → - 2 + ⁡ f x

E

lim x → - 2 - ⁡ f x

Passo 7

Começando com

lim x → 2 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 2 + ⁡ x 2 4 - x 2 = 2 2 4 - 2 2 = 4 4 - 4 = 4 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 2 , neste caso, pela direita.

Pela direita, significa pegar valores maiores que 2 , logo o nosso denominador, que é 4 - x 2 , vai assumir valores menores que 0 , sendo negativo. Isso porque pegando números maiores que 2 , ao elevar ao quadrado vai dar mais que 4 . Quando fizermos 4 - x 2 vai dar negativo.

O nosso numerador vai ser x 2 que é um número ao quadrado. Então é sempre positivo.

Assim, nossa fração vai ser negativo, porque é divisão de negativo com positivo, para valores maiores que 2 .

E isso nos diz que

lim x → 2 + ⁡ x 2 4 - x 2 = - ∞

Passo 8

Começando com

lim x → 2 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 2 - ⁡ x 2 4 - x 2 = 2 2 4 - 2 2 = 4 4 - 4 = 4 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 2 , neste caso, pela esquerda.

Pela esquerda, significa pegar valores menores que 2 , logo o nosso denominador, que é 4 - x 2 , vai assumir valores maiores que 0 , sendo positivo. Isso porque pegando números menores que 2 , ao elevar ao quadrado vai dar menos que 4 . Quando fizermos 4 - x 2 vai dar positivo.

O nosso numerador vai ser x 2 que é um número ao quadrado. Então é sempre positivo.

Assim, nossa fração vai ser positiva, porque é divisão de positivo com positivo, para valores maiores que 2 .

E isso nos diz que

lim x → 2 - ⁡ x 2 4 - x 2 = + ∞

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = 2

Passo 9

Agora o outro limite

lim x → - 2 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 2 + ⁡ x 2 4 - x 2 = - 2 2 4 - - 2 2 = 4 4 - 4 = 4 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 2 , neste caso, pela direita.

Pela direita, significa pegar valores maiores que - 2 , logo o nosso denominador, que é 4 - x 2 , vai assumir valores menores que 0 , sendo positivo. Isso porque pegando números maiores que - 2 , ao elevar ao quadrado vai dar menos que 4 . Esses números são - 1 virgula alguma coisa, elevando ao quadrado o sinal fica positivo. Quando fizermos 4 - x 2 vai dar positivo.

O nosso numerador vai ser x 2 que é um número ao quadrado. Então é sempre positivo.

Assim, nossa fração vai ser positiva, porque é divisão de positivo com positivo, para valores maiores que - 2 .

E isso nos diz que

lim x → - 2 + ⁡ x 2 4 - x 2 = + ∞

Passo 10

Começando com

lim x → - 2 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 2 - ⁡ x 2 4 - x 2 = - 2 2 4 - - 2 2 = 4 4 - 4 = 4 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 2 , neste caso, pela esquerda.

Pela esquerda, significa pegar valores menores que - 2 , logo o nosso denominador, que é 4 - x 2 , vai assumir valores menores que 0 , sendo negativo. Esses números são - 2 virgula alguma coisa, elevando ao quadrado o sinal fica positivo Quando fizermos 4 - x 2 vai dar negativo.

O nosso numerador vai ser x 2 que é um número ao quadrado. Então é sempre positivo.

Assim, nossa fração vai ser negativa, porque é divisão de negativo com positivo, para valores maiores que - 2 .

E isso nos diz que

lim x → - 2 - ⁡ x 2 4 - x 2 = - ∞

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = - 2

Passo 11

As assíntotas verticais são

x = 2

x = - 2

Vamos juntar com nossa assíntota horizontal

y = - 1

E ver como fica o esboço.

O esboço vai ficar

Resposta

Assíntota horizontal:

y = - 1

Assíntota vertical:

x = 2

x = - 2

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Calcule a ) lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x x
Calcule b . lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x x + 2
Calcule c ) lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 2 x x
Calcule f ) lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x x
Calcule g ) lim x → 0 ⁡ 1 + 2 x 1 x