Enunciado

Prove que lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0 por dois métodos. (a) Seja x = 1 t e use o resultado do E xercício 55 nos Exercícios 7.3.(b) Primeiro prove que ∫ 1 x 1 t d t ≥ ∫ 1 x 1 t d t aplicando o teorema 5.6.8. Então use o teorema do sanduíche.

Passo 1

(a)No Exercício 55 nos Exercícios 7.3, provamos que lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x = 0 . Substituindo x   p o r 1 x , teremos que:

lim 1 x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 x x = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 x x = lim x → + ∞ ⁡ - ln ⁡ x x = - lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x ⁡

Passo 2

Com isso, temos que:

lim 1 x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 x x = 0   e   lim 1 x → 0 + ⁡ ln ⁡ 1 x x = - lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x → lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0

Passo 3

(b) Vamos provar que   ∫ 1 x 1 t d t ≥ ∫ 1 x 1 t d t .

Para t ≥ 1 :

t ≥ 1 → ÷ t 1 t ≥ 1 t  

Seja f x = 1 t   e   g x = 1 t , pelo teorema 5.6.8, temos que, para x ≥ 1 :

∫ 1 x 1 t d t ≥ ∫ 1 x 1 t d t

Passo 4

Calculando a integral, temos que:

2 t x 1 ≥ ln ⁡ t x 1 → 2 x - 2 ≥ ln ⁡ x

Dividindo por x, temos que:

2 x x - 2 x ≥ ln ⁡ x x

Além disso, como x ≥ 1 , temos que:

ln ⁡ x x ≥ 0

Logo: 2 x x - 2 x ≥ ln ⁡ x x ≥ 0

Passo 5

Aplicando o teorema do Sanduíche, tomando f x = 2 x x - 2 x ,   g x = ln ⁡ x x   e   h x = 0 , vemos que:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x - 2 x = 0 lim x → + ∞ ⁡ 0 = 0

Logo, como f x ≥ g x ≥ h ( x ) , lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0 .

Resposta

Demonstração

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