Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.

27. f x = 1 2 sec ⁡ 4 x

Passo 1

Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.

E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.

Passo 2

Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.

f x = 1 2 sec ⁡ 4 x

f ' x = 1 2 4 sec ⁡ 4 x ⋅ t g   4 x

= 2 ( sec ⁡ 4 x ⋅ t g   4 x )

⇒ f ' x = 2 ( sec ⁡ 4 x ⋅ t g   4 x )

Passo 3

Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.

2 sec ⁡ 4 x ⋅ t g   4 x = 0

⇒ sec ⁡ 4 x ⋅ t g   4 x = 0

⇒ 1 cos ⁡ 4 x ⋅ s e n   4 x cos ⁡ 4 x = 0

⇒ s e n   4 x cos 2 ⁡ 4 x = 0

A expressão acima só irá zerar quando s e n   4 x = 0 , para isso acontecer, temos que:

4 x = π

x = π 4

Ou ainda:

x = π 4 + 1 4 n π

Isso acontece pelo fato de seno ser uma função periódica.

Passo 4

Então achamos o valor de x onde ocorrem os estremos relativos, que são x = π 2 + 1 4 n π . Agora vamos achar o extremo relativo, jogando o x que encontramos na nossa função.

f x = 1 2 sec ⁡ 4 x

f π 4 + 1 4 n π = 1 2 sec ⁡ 4 π 4 + 1 4 n π

= 1 2 sec ⁡ π + n π

= 1 2 ⋅ 1 cos ⁡ ( π + n π )

Agora temos que se n for ímpar:

cos ⁡ ( π + n π ) = 1

⇒ 1 2 ⋅ 1 cos ⁡ π + n π = 1 2

Se n é par:

cos ⁡ ( π + n π ) = - 1

⇒ 1 2 ⋅ 1 cos ⁡ π + n π = - 1 2

Passo 5

Agora vamos avaliar para quais intervalos f ( x ) é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x f ' ( x ) é positiva e para quais valores ela é negativa.

f ' x = 2 ( sec ⁡ 4 x ⋅ t g   4 x )

⇒ s e n   4 x cos 2 ⁡ 4 x

Vemos que para:

π 2 + n 2 π < x < π 8 + n 2 π → f ' x > 0

Basta avaliar a função em valor qualquer nesse intervalo.

Para:

π 8 + n 2 π < x < π 2 + n 2 π → f ' x < 0

Basta avaliar a função em valor qualquer nesse intervalo.

Abaixo temos os resultados resumidos em uma tabela.

Passo 6

Abaixo podemos ver o gráfico da função.

Resposta

  1. f π 8 + n 2 π = - 1 2 e f π 2 + n 2 π   = 1 2 são extremos relativos.
  2. Em   x = π 2 + n 2 π e x = π 8 + n 2 π ocorre extremo relativo.
  3. f ( x ) é crescente em π 2 + n 2 π < x < π 8 + n 2 π
  4. f ( x ) é decrescente em   π 8 + n 2 π < x < π 2 + n 2 π
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