Enunciado

Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função

f x = - 3 x x 2 + 3

Passo 1

Vamos começar pelas assíntotas horizontais.

Para encontra-las demos que calcular dois limites

lim x → + ∞ ⁡ f x

E

lim x → - ∞ ⁡ f x

Se agum desses limites der algum número, então teremos assíntotas horizontais.

Vamos começar com

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ - 3 x x 2 + 3

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para .

Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

- 3 x x 2 + 3

Passo 2

O nosso numerador é

x 2 + 3

Colocando x em evidência

x 1 + 3 x 2

Passo 3

A nossa fração vai ficar

- 3 x x 2 + 3 = - 3 x x 1 + 3 x 2 = - 3 1 + 3 x 2

Agora, vamos tomar o limite

lim x → + ∞ ⁡ - 3 x x 2 + 3 = lim x → + ∞ ⁡ - 3 1 + 3 x 2 = - 3

Assim, temos

y = - 3

Como uma assíntota horizontal.

Passo 4

Vamos para o outro limite

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ - 3 x x 2 + 3 = 3

Teremos

y = 3

Como assíntota horizontal.

Passo 5

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos. Neste caso, não temos assíntotas verticais.

Resposta

Assíntota horizontal:

y = ± 3

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Calcule.g) lim x → + ∞ ⁡ x + x - x - 1
Ache o limite lim x → - ∞ ⁡ 3 x + 1 x 2
Ache o limite lim t → + ∞ ⁡ 2 t 2 - 4 t
Ache o limite lim x → + ∞ ⁡ 7 x 2 - 2 x + 1 3 x 2 + 8 x + 5
Ache o limite lim x → - ∞ ⁡ 6 x - 4 3 x + 1