Enunciado

Encontre as assíntotas horizontal e vertical e trace um esboço do gráfico da função

f x = 2 x 6 x 2 + 11 x - 10

Passo 1

Vamos começar pelas assíntotas horizontais.

Para encontra-las demos que calcular dois limites

lim x → + ∞ ⁡ f x

E

lim x → - ∞ ⁡ f x

Se agum desses limites der algum número, então teremos assíntotas horizontais.

Vamos começar com

lim x → + ∞ ⁡ f x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 6 x 2 + 11 x - 10

Esse é aquele limite que temos de polinômio sobre polinômio, com x indo para .

Então para resolvê-los temos que colocar o termo de maior grau em evidência no numerador e depois a mesma coisa no denominador para simplificarmos e acharmos a resposta.

Vamos trabalhar só com a fração, depois colocamos no limite

2 x 6 x 2 + 11 x - 10

Passo 2

O nosso numerador é

2 x

Aqui só temos 1 termo, então não precisamos colocar ninguém em evidência.

Passo 3

O nosso denominador vai ser

6 x 2 + 11 x - 10

Colocando x 2 em evidência

x 2 6 + 11 x - 10 x 2

Passo 4

A nossa fração vai ficar

2 x 6 x 2 + 11 x - 10 = 2 x x 2 6 + 11 x - 10 x 2 = 2 x 6 + 11 x - 10 x 2

Agora, vamos tomar o limite

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 6 x 2 + 11 x - 10 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 6 + 11 x - 10 x 2

Lembrando que o limite de um número sobre é sempre 0 , vamos ter

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 6 + 11 x - 10 x 2 = 2 + ∞ 6 + 0 - 0 = 2 + ∞

Assim, temos

y = 0

Como uma assíntota horizontal.

Passo 5

Vamos para o outro limite

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 6 x 2 + 11 x - 10

Temos a mesma situação de antes, então já podemos utilizar aquela fração final

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 6 x 2 + 11 x - 10 = lim x → - ∞ ⁡ 2 x 6 + 11 x - 10 x 2 = 2 - ∞ 6 + 0 - 0 = 2 - ∞

Teremos

y = 0

Como assíntota horizontal.

Passo 6

A assíntota vertical é o valor de x que ao tomarmos o limite ele vai para + ∞ ou para - ∞ .

Para acharmos essas assíntotas, precisamos calcular o limite em alguns candidatos.

Quem são eles?

Como aqui temos uma fração, os candidatos serão os que zeram o denominador.

Nesse caso

6 x 2 + 11 x - 10 = 0

Aplicando Bhaskaras, vamos ter

x = - 5 2

x = 2 3

Para o cálculo da assíntota, devemos separar nos limites laterais para cada x que achamos. Ou seja, calcular

lim x → 2 3 + ⁡ f x

E

lim x → 2 3 - ⁡ f x

lim x → - 5 2 + ⁡ f x

E

lim x → - 5 2 - ⁡ f x

Passo 7

Começando com

lim x → 2 3 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 2 3 + ⁡ 2 x 6 x 2 + 11 x - 10 = 2 2 3 6 2 3 2 + 11 2 3 - 10 = 4 3 8 3 + 22 3 - 10 = 4 / 3 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 2 3 , neste caso, pela direita.

Para analisar o sinal do denominador, vamos olhar como fica a função de segundo grau

Olhando para valores a direita de 2 3 , vamos ter que ele vai ser positivo.

O nosso numerador vai ser 2 x , em x = 2 3 vai ficar 4 3 que é positivo.

Assim, nossa fração vai ser positivo, porque é divisão de positivo com positivo, para valores maiores que 2 3 .

E isso nos diz que

lim x → 3 + ⁡ 2 x 6 x 2 + 11 x - 10 = + ∞

Passo 8

Começando com

lim x → 2 3 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → 2 3 - ⁡ 2 x 6 x 2 + 11 x - 10 = 2 2 3 6 2 3 2 + 11 2 3 - 10 = 4 3 8 3 + 22 3 - 10 = 4 / 3 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de 2 3 , neste caso, pela esquerda.

Para analisar o sinal do denominador, vamos olhar como fica a função de segundo grau

Olhando para valores a esquerda de 2 3 , vamos ter que ele vai ser negativo.

O nosso numerador vai ser 2 x , em x = 2 3 vai ficar 4 3 que é positivo.

Assim, nossa fração vai ser negativa, porque é divisão de positivo com negativo, para valores menores que 2 3 .

E isso nos diz que

lim x → 2 3 - ⁡ 2 x 6 x 2 + 11 x - 10 = - ∞

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = 2 3

Passo 9

Agora o outro limite

lim x → - - 5 2 + ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 5 2 + ⁡ 2 x 6 x 2 + 11 x - 10 = 2 - 5 2 6 - 5 2 2 + 11 - 5 2 - 10 = - 5 75 2 - 55 2 - 10 = - 5 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 5 2 , neste caso, pela direita.

Para analisar o sinal do denominador, vamos olhar como fica a função de segundo grau

Olhando para valores a direita de - 5 2 , vamos ter que ele vai ser negativo.

O nosso numerador vai ser 2 x , em x = - 5 2 vai ficar - 5 que é negativo.

Assim, nossa fração vai ser positiva, porque é divisão de negativo com negativo, para valores maiores que - 5 2 .

E isso nos diz que

lim x → - 5 2 + ⁡ 2 x 6 x 2 + 11 x - 10 = + ∞

Passo 10

Começando com

lim x → - 5 2 - ⁡ f x

Que vai ser

lim x → - 5 2 - ⁡ 2 x 6 x 2 + 11 x - 10 = 2 - 5 2 6 - 5 2 2 + 11 - 5 2 - 10 = - 5 75 2 - 55 2 - 10 = - 5 0

Opa, deu um número sobre 0 . Então esse limite vai para + ∞ ou para - ∞ . Basta olharmos o sinal de f x próximo de - 5 2 , neste caso, pela esquerda.

Para analisar o sinal do denominador, vamos olhar como fica a função de segundo grau

Olhando para valores a esquerda de - 5 2 , vamos ter que ele vai ser positivo.

O nosso numerador vai ser 2 x , em x = - 5 2 vai ficar - 5 que é negativo.

Assim, nossa fração vai ser negativa, porque é divisão de positivo com negativo, para valores menores que - 5 2 .

E isso nos diz que

lim x → - 5 2 - ⁡ 2 x 6 x 2 + 11 x - 10 = + ∞

Como achamos pelo menos um dos limites laterais indo para , nessa questão os dois né rs

Temos que

x = - 5 2

Passo 11

As assíntotas verticais são

x = 2 3

x = - 5 2

Vamos juntar com nossa assíntota horizontal

y = 0

E ver como fica o esboço.

O esboço vai ficar

Resposta

Assíntota horizontal:

y = 0

Assíntota vertical:

x = 2 3

x = - 5 3

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Ache o limite lim x → + ∞ ⁡ x 2 - 2 x + 5 7 x 3 + x + 1
Ache o limite lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 4 x + 4
Ache o limite lim x → + ∞ ⁡ 3 x 4 - 7 x 2 + 2 2 x 4 + 1
Use uma calculadora para tabular os valores de f x para valores fixados de x . f x = - 3 x 2 x 2 + 1 x é 0,1 , 2,4 , 6,8 , 10,100,1000 e x é - 1 , - 2 , - 4 , - 6 , - 8 , - 10 , - 100 , - 1000 . a ) D
Use uma calculadora para tabular os valores de f x para valores fixados de x . f x = 4 x 2 x é 1,2 , 4,6 , 8,10,100,1000 e x é - 1 , - 2 , - 4 , - 6 , - 8 , - 10 , - 100 , - 1000 . a ) Do que f x pare