Enunciado

  1. Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
  2. Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
  3. Encontre os valores máximos e mínimos locais.
  4. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
  5. Use a informação das partes (a) – (d) pra esboçar o gráfico de f .

f x = x 2 - 4 x 2 + 4

Passo 1

Eaeee, belezinha?? A questão nos dá a seguinte função:

f x = x 2 - 4 x 2 + 4

A partir disso o enunciado nos pergunta um bocadinho de coisa. Então bora fazer uma a uma que aí a gente vai entendendo melhor, combinado?? 😉

Passo 2

No item a) precisamos achar as assíntotas, então vamos calcular o limite.

Primeiro, vamos achar assíntota horizontal,

lim x → ± ∞ ⁡   x 2 - 4 x 2 + 4 = 0

y = 0 é assíntota horizontal

Não temos assíntotas verticais, pois x 2 + 4 ≠ 0 .

Passo 3

Vamos resolver o item b) agora.

No item b) precisamos achar onde f cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontra-los.

Derivando f , usando a regra do quociente, temos que

f ' x = 2 x x 2 + 4 - x 2 - 4 2 x x 2 + 4 2

Organizando as contas,

f ' x = 16 x x 2 + 4 2  

Precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, ou seja, pontos críticos.

Para isso, devemos igualar a derivada a zero:

f ' x = 0

Ou seja,

16 x x 2 + 4 2 = 0 ∴

16 x = 0 ∴

x = 0  

Passo 4

Agora, precisamos analisar as proximidades desse ponto para usar o teste da primeira e obter os máximos e mínimos (ou não hahah).

Temos que

  1.   f ' x < 0   se   x ∈ - ∞ , 0  
  2. f ' x > 0 se x ∈ 0 , ∞  

(você pode verificar isso pegando números no intervalo que te dei e aplicando na derivada).

Pelo teste da primeira derivada, f é decrescente em - ∞ , 0     e crescente em 0 , ∞   .

Passo 5

Respondendo o item c)...

Vamos usar o item anterior, olha só!

Como f muda de decrescente para crescente em x = 0 , então ( 0 , f 0 ) é um ponto de mínimo local. Não existe máximo.

Passo 6

Precisamos saber da concavidade da função, beleza? Então vamos calcular a segunda derivada.

Usando a regra do quociente, temos que

f ' ' x = 16 x 2 + 4 2 -   16 x 2 x 2 + 4 2 x x 2 + 4 4

Arrumando as contas,

f ' ' ( x ) = 16 - 3 x 2 + 4 x 2 + 4 3

Vamos achar o candidato a ponto de inflexão. Para isso, igualamos a segunda derivada a zero:

f ' ' = 0

Ou seja

16 - 3 x 2 + 4 = 0  

4 - 3 x 2 = 0 ∴

x 2 = 4 3

x = ± 2 3 3

E teremos que:

  1. f ' ' x < 0     se   x ∈ - ∞ ,   - 2 3 3 ∪ 2 3 3 ,   ∞
  2. f ' ' x > 0     se   x ∈ - 2 3 3 ,   2 3 3

Isso quer dizer que a função será concava para cima quando f ' ' x > 0 e será concava para baixo se f ' ' x < 0 .

Passo 7

Agora, temos que esboçar o gráfico. Partiu!

Resposta

y = 0 é assíntota horizontal.   f é crescente em - ∞ , 0     e decrescente em 0 , ∞   .   ( 0 , f 0 ) é uum ponto de máximo local. Não existe mínimo . Não temos pontos de inflexão.

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