Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 50
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
- Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximos e mínimos locais.
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
- Use a informação das partes (a) – (d) pra esboçar o gráfico de .
Passo 1
Eaeee, belezinha?? A questão nos dá a seguinte função:
A partir disso o enunciado nos pergunta um bocadinho de coisa. Então bora fazer uma a uma que aí a gente vai entendendo melhor, combinado?? 😉
Passo 2
No item a) precisamos achar as assíntotas, então vamos calcular o limite.
Primeiro, vamos achar assíntota horizontal,
é assíntota horizontal
Não temos assíntotas verticais, pois
Passo 3
Vamos resolver o item b) agora.
No item b) precisamos achar onde cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontra-los.
Derivando , usando a regra do quociente, temos que
Organizando as contas,
Precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, ou seja, pontos críticos.
Para isso, devemos igualar a derivada a zero:
Ou seja,
Passo 4
Agora, precisamos analisar as proximidades desse ponto para usar o teste da primeira e obter os máximos e mínimos (ou não hahah).
Temos que
- se
- se
(você pode verificar isso pegando números no intervalo que te dei e aplicando na derivada).
Pelo teste da primeira derivada, é decrescente em e crescente em
Passo 5
Respondendo o item c)...
Vamos usar o item anterior, olha só!
Como muda de decrescente para crescente em , então é um ponto de mínimo local. Não existe máximo.
Passo 6
Precisamos saber da concavidade da função, beleza? Então vamos calcular a segunda derivada.
Usando a regra do quociente, temos que
Arrumando as contas,
Vamos achar o candidato a ponto de inflexão. Para isso, igualamos a segunda derivada a zero:
Ou seja
E teremos que:
Isso quer dizer que a função será concava para cima quando e será concava para baixo se .
Passo 7
Agora, temos que esboçar o gráfico. Partiu!
Resposta
é assíntota horizontal. é crescente em e decrescente em é uum ponto de máximo local. Não existe mínimo . Não temos pontos de inflexão.