Enunciado

Encontre a carga no capacitor em um circuito em série L-R-C quando L = 1 4   h e n r y ,   R = 2 0   o h m s ,   C = 1 300   f a r a d ,     E t = 0   v o l t , q 0 = 4   c o u l o m b s   e i 0 = 0   a m p è r e .

A carga no capacitor se anula em algum instante?

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, a equação diferencial que relaciona a carga de um circuito é dada por:

L d 2 q d t 2 + R d q d t + 1 C q = E ( t )

Substituindo o que a questão nos deu, nossa equação fica:

1 4   q ' ' + 2 0 q ' + 300 q = 0

Agora vamos resolver essa EDO!

Passo 2

Essa é uma EDO homogênea de coeficientes constantes, então a gente resolve através da equação auxiliar:

1 4 m 2 + 2 0 m + 300 = 0

Resolvendo...

Δ = 400 - 300 = 100

x ' = - 20 + 10 1 / 2 = - 20

x ' ' = - 20 - 10 1 2 =   - 60

A solução então é:

q t = c 1 e - 20 t + c 2 e - 60 t

Essa é a solução geral, mas a gente quer a solução pra um caso específico, então vamos lá...

Passo 3

Temos os valores iniciais:

q 0 = 4   c o u l o m b s   e i 0 = q ' 0 = 0   a m p è r e

Vamos substituir isso na nossa solução então...

q 0 = c 1 e - 20 ⋅ 0 + c 2 e - 60 ⋅ 0 = 4

c 1 + c 2 = 4

E derivando...

q ' t = - 20 c 1 e - 20 t - 60 c 2 e - 60 t

E aí:

q ' 0 = - 20 c 1 e - 20 ⋅ 0 - 60 c 2 e - 60 ⋅ 0 = 0

- 20 c 1 - 60 c 2 = 0

Juntando os dois, temos:

c 1 = 4 - c 2

- 20 4 - c 2 - 60 c 2 = 0

- 80 + 20 c 2 - 60 c 2 = 0

- 40 c 2 = 80 → c 2 = - 2

E daí: c 1 = 6 .

A solução do PVI então é:

q t = 6 e - 20 t - 2 e - 60 t

Passo 4

Agora vamos à pergunta de fato: essa carga se anula em algum ponto? Vamos ver...

6 e - 20 t - 2 e - 60 t = 0

e - 20 t 6 - 2 e - 40 t = 0

Como e - 20 t ≠ 0 para qualquer t , precisaríamos que:

6 - 2 e - 40 t = 0

e - 40 t = 3

e 40 t = 1 3

Pra isso acontecer, teríamos t < 0 , e como se trata de tempo, isso não é possível.

Então a carga não se anula em nenhum instante 😉

Resposta

Nunca se anula.

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