Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 41
Encontre o centro de massa do sólido com a dada função de densidade .
Passo 1
Nesse exercício, iremos analisar o sólido que é o cubo dado por , com função densidade .
Começaremos o exercício descobrindo a massa do sólido, sendo assim:
Dessa forma, podemos escrever a integral como:
Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por :
Simplificando a expressão, temos:
Passo 2
Agora iremos integrar em função de :
E, simplificando a expressão, temos:
Agora iremos integrar em relação a :
Dessa forma, a massa é:
Passo 3
Para calcular a posição do centro de massa do sólido, iremos calcular os momentos de massa do solido com relação aos 3 eixos. Começaremos com relação ao eixo :
Dessa forma, podemos escrever a integral como:
Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por :
Simplificando a expressão, temos:
Agora iremos integrar em função de :
E, simplificando a expressão, temos:
Agora iremos integrar em relação a :
Dessa forma, a massa é:
Como o sólido dado no enunciado é um cubo, devido a sua simetria e a simetria da função densidade , sabemos que os momentos de massa serão os mesmos para todos os eixos, sendo assim:
E, com isso, o centro de massa do sistema é dado por:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais