Enunciado

Encontre o centro de massa do sólido E com a dada função de densidade ρ .

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar o sólido E que é o cubo dado por 0 ≤ x ≤ a ,   0 ≤ y ≤ a ,   0 ≤ z ≤ a , com função densidade ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .

Começaremos o exercício descobrindo a massa do sólido, sendo assim:

m = ∫ ∫ ∫ ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ 0 a ∫ 0 a ∫ 0 a ( x 2 + y 2 + z 2 )   d x d y d z

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por x :

∫ 0 a ∫ 0 a 1 3 x 3 + x y 2 + x z 2 x = 0 x = a d y d z = ∫ 0 a ∫ 0 a 1 3 a 3 + a y 2 + a z 2 - [ 0 ] d y d z

Simplificando a expressão, temos:

∫ 0 a ∫ 0 a 1 3 a 3 + a y 2 + a z 2 d y d z

Passo 2

Agora iremos integrar em função de y :

∫ 0 a 1 3 a 3 y + 1 3 a y 4 + a y z 2 y = 0 y = a d z = ∫ 0 a 1 3 a 3 a + 1 3 a a 4 + a a z 2 - 0 d z

E, simplificando a expressão, temos:

∫ 0 a 2 3 a 4 + a 2 z 2 d z

Agora iremos integrar em relação a z :

2 3 a 4 z + 1 3 a 2 z 3 0 a = 2 3 a 4 a + 1 3 a 2 a 3 - 0

= 2 3 a 5 + 1 3 a 5

Dessa forma, a massa é:

m = a 5

Passo 3

Para calcular a posição do centro de massa do sólido, iremos calcular os momentos de massa do solido com relação aos 3 eixos. Começaremos com relação ao eixo x :

M y z = ∫ ∫ ∫ x ρ x , y , z d V

Dessa forma, podemos escrever a integral como:

∫ 0 a ∫ 0 a ∫ 0 a ( x 3 + x ( y 2 + z 2 )   d x d y d z

Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por x :

∫ 0 a ∫ 0 a 1 4 x 4 + 1 2 x 2 ( y 2 + z 2 ) x = 0 x = a d y d z = ∫ 0 a ∫ 0 a 1 4 a 4 + 1 2 a 2 ( y 2 + z 2 ) - [ 0 ] d y d z

Simplificando a expressão, temos:

∫ 0 a ∫ 0 a 1 4 a 4 + 1 2 a 2 y 2 + z 2 d y d z

Agora iremos integrar em função de y :

∫ 0 a 1 4 a 4 y + 1 2 a 2 1 3 y 3 + y z 2 y = 0 y = a d z = ∫ 0 a 1 4 a 4 a + 1 2 a 2 1 3 a 3 + z 2 - 0 d z

E, simplificando a expressão, temos:

∫ 0 a 1 4 a 5 + 1 6 a 5 + 1 2 a 3 z 2 d z

Agora iremos integrar em relação a z :

1 4 a 5 z + 1 6 a 5 z + 1 6 a 3 z 3 0 a = 1 4 a 5 a + 1 6 a 5 a + 1 6 a 3 a 3 - 0

= 1 4 a 6 + 1 3 a 6

Dessa forma, a massa é:

M y z = 7 12 a 6

Como o sólido dado no enunciado é um cubo, devido a sua simetria e a simetria da função densidade ρ , sabemos que os momentos de massa serão os mesmos para todos os eixos, sendo assim:

M x z = M x y = 7 12 a 6

E, com isso, o centro de massa do sistema é dado por:

x - , y - , z - = 7 12 a , 7 12 a , 7 12 a

Resposta

m = a 5

x - , y - , z - = 7 12 a , 7 12 a , 7 12 a

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