Enunciado

Encontre as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

r → t = t 2 + 1 i → + t 3   j → ,             t ≥ 0              

Passo 1

Queremos encontrar os vetores tangencial e normal. Para isso, primeiramente vamos calcular a primeira e segunda derivada de r.

r → ' = 2 t   i → + 3 t 2   j →  

A norma desse vetor é

r → ' = 4 t 2 + 9 t 4

E a segunda derivada de r é

r → ' ' = 2   i → + 6 t   j →

Passo 2

Podemos agora encontrar o vetor aceleração tangencial da seguinte forma:

a T = r → ' ⋅ r → ' ' | r → ' |

O produto escalar entre os dois vetores nos dá:

2 t , 3 t 2 ⋅ 2,6 t = 4 t + 18 t 3

Dessa forma temos que a aceleração tangencial é:

a T = 4 t + 18 t 3 4 t 2 + 9 t 4

Passo 3

Para encontrarmos a aceleração normal, temos que tomar o módulo do produto vetorial entre r → ' e r → ' ' .

Temos:

2 t , 3 t 2 × 2,6 t = i j k 2 t 3 t 2 0 2 6 t 0

Efetuando esse produto vetorial temos:

r → ' × r → ' ' = 0 i → + 0   j → + 6 t 2   k →

A norma desse vetor é dado por

r → ' × r → ' ' = 36 t 4

Dessa maneira, a aceleração normal é dada por:

a N = r → ' × r → ' ' | r → ' | = 36 t 4 4 t 2 + 9 t 4

Resposta

As componentes tangencial e normal do vetor aceleração dado são

a T = 4 t + 18 t 3 4 t 2 + 9 t 4

a N = 36 t 4 4 t 2 + 9 t 4

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Mostrar que a função vetorial f → t = f 1 t i → + f 2 t j → + f 3 ( t ) k → é contínua em um intervalo I se, e somente se, as funções reais f 1 t ,f 2 t ef 3 ( t ) são contínuas em I .
Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:f) r → t = e t , t 2 - 1 t - 1 , ln ⁡ t + 1
Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:d) v → t = ln ⁡ t + 1 , 1 t ,t
Sejam f → e g → funções vetoriais contínuas em um intervalo I . Mostrar que:a) f → + g → é contínua em I .
Indicar os intervalos de continuidade das seguintes funções vetoriais:g) f → t = t 3 ,- 1 t 2 - 1 , 1 t 2 - 4