Enunciado

Um projétil é lançado de um tanque com velocidade inicial de 400m/s. Encontre 2 ângulos de elevação que podem ser utilizados para atingir um alvo a 3000m de distância.

Passo 1

Do enunciado, temos que:

v 0 = 400 m s                               Δ x = 3000 m  

Sabemos que no eixo x, a equação horária é:

Δ x = v o c o s θ ⋅ t

E em y é:

Δ y = v o s e n θ ⋅ t - 1 2 g t 2

Fazendo com que o projétil esteja na origem em t=0, temos x 0 = 0 e y 0 = 0 .

Passo 2

Aplicando a condição inicial em x, temos:

3000 - 0 = v o c o s θ ⋅ t   → t = 3000 v o c o s θ

Em y por sua vez, como o projétil sai de y=0 e volta no mesmo nível, Δ y = 0 , logo

1 2 g t 2 = v o s e n   θ ⋅ t  

Para eliminar o termo t nessa equação, podemos utilizar a expressão para t que encontramos analisando o movimento no eixo x. Dessa forma, substituindo ficamos com:

1 2 g 3000 v o c o s θ 2 = v o s e n θ 3000 v o c o s θ

Lembrando que

s e n θ c o s θ = t a n θ

Podemos simplificar a equação como:

g 3000 2 = v o 2 cos 2 ⁡ θ ( 6000 ⋅ t a n θ )

Passo 3

Podemos agora utilizar a seguinte relação para poder simplificar ainda mais:

cos 2 ⁡ θ ⋅ t a n θ = cos 2 ⁡ θ ⋅ s e n θ c o s θ = s e n θ ⋅ c o s θ

E, sabendo que s e n θ ⋅ c o s θ = s e n ( 2 θ ) , podemos fazer:

g 3000 2 = 2 ⋅ 3000 ⋅ v o 2 ⋅ s e n 2 θ   → θ = a r c s e n 3000 g 2 v o 2

Substituindo g = 9,8 m / s 2 e v o = 400 m s temos:

θ 1 ≈ 5,27 °

Tomando o complemento desse ângulo, temos

θ 2 = 90 - θ 1 = 84,73 °

Resposta

Os dois ângulos procurados são:

θ 1 ≈ 5,27 °

θ 2 = 84,73 °

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Sejam f → t = t i → + 2 t 2 j → + 3 t 3 k → e g → t = 2 t i → + j → - 3 t 2 k → ,t ≥ 0 . Calcular:(f) lim t → 1 ⁡ [ ( t + 1 ) f → t ]
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