Enunciado

Encontre o comprimento de arco da curva do ponto P ao ponto Q.

x ² = y - 4 3                           P 1 ,   5                 Q ( 8 ,   8 )

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos lembrar isolar o x, para sabermos qual a função vamos trabalhar.

Como fazemos isso? Tirando a raiz, não é?

x = y - 4 3 2

Então podemos chamar:

g y = y - 4 3 2

Como se calcula o comprimento de um arco? Basta lembrarmos que:

Precisamos da derivada da função g. Como temos uma função “dentro” de outra, usamos a Regra da Cadeia:

g ' ( y ) = 1 . 3 2 . y - 4 3 2 - 1

g ' ( y ) = 3 2 . y - 4 1 2

E quanto aos intervalos? Vamos pensar !

A nossa variável y vai de 5, no ponto P, até 8, no ponto Q. Então:

L = ∫ 5 8 1 + 3 2 . y - 4 1 2 2 . d y

L = ∫ 5 8 1 + 3 2 2 y - 4 . d y

L = ∫ 5 8 1 + 9 4 y - 4 . d y

Vamos tirar o MMC:

L = ∫ 5 8 4 + 9 y - 4 4 . d y = ∫ 5 8 1 2 4 + 9 y - 36 . d y

L = 1 2 ∫ 5 8 9 y - 3 2 . d y = 1 2 ∫ 5 8 9 y - 32 1 2 . d y

Passo 2

Já descobrimos a integral. Agora vamos resolvê-la. Como?

Vamos usar a substituição:

u = 9 y - 32

Derivando:

d u = 9 d y → d u 9 = d y

Substituímos:

L = 1 2 ∫ 5 8 u 1 2 . d u 9

L = 1 18 ∫ 5 8 u 1 2 . d u

Resolvendo:

L = 1 18 . u 1 2 + 1 1 2 + 1 | 8 5 = 1 18 . u 3 2 3 2 | 8 5

L = 1 18 . 2 3 u 3 2 | 8 5

L = 1 27 . u 3 2 | 8 5

Substituímos nosso u:

L = 1 27 . ( 9 y - 32 ) 3 2 | 8 5

Agora sim, vamos aplicar o intervalo:

L = 1 27 . 40 3 2 - 13 3 2

L = 7,63

Resposta

L = 7,63

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