Enunciado

Encontre condições em a , b , c e d para que o gráfico do polinômio f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d tenha:

(a) exatamente duas tangentes horizontais;

(b) exatamente uma tangente horizontal;

(c) não tenha tangentes horizontais.

Passo 1

Beleza, a reta tangente horizontal acontece quando sua inclinação em um ponto, ou seja, a derivada da função naquele ponto é zero. Então, vamos olhar para a derivada dessa função f x :

f x = a x 3 + b x 2 + c x + d

f ' ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c

Passo 2

(a) Para que existam duas tangentes horizontais, devem existir dois pontos na função onde a sua derivada é zero. Ou seja, temos que:

0 = 3 a x 2 + 2 b x + c

Resolvendo por Bhaskara:

- b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 2 b ± 4 b 2 - 12 a c 2 a

Para que existam dois pontos, essa equação deve ter duas raízes e, para que isso aconteça, o delta ( ∆ = b 2 - 4 a c ) deve ser maior que zero!

Então:

∆ = 4 b 2 - 12 a c > 0

12 a c < 4 b 2

b 2 > 3 a c

Resolvendo a inequação, encontramos essas duas condições:

Supondo b positivo, resolvemos a desigualdade normalmente:

b > 3 a c

Supondo b negativo, temos que:

- b > 3 a c

b < - 3 a c

Isso ocorre para qualquer valor de d .

Passo 3

(b) Para que exista uma tangente horizontal, deve existir um ponto na função onde a sua derivada é zero. Ou seja, temos que:

0 = 3 a x 2 + 2 b x + c

Resolvendo por Bhaskara:

- b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 2 b ± 4 b 2 - 12 a c 2 a

Para que exista um ponto, essa equação deve ter uma raiz e, para que isso aconteça, o delta ( ∆ = b 2 - 4 a c ) deve ser igual a zero!

Então:

∆ = 4 b 2 - 12 a c = 0

12 a c = 4 b 2

Resolvendo a equação, encontramos essa condição:

b = 3 a c

Isso ocorre para qualquer valor de d .

Passo 4

(c) Para que não existam tangentes horizontais, não devem existir pontos na função onde a sua derivada é zero. Ou seja, temos que:

0 = 3 a x 2 + 2 b x + c

Resolvendo por Bhaskara:

- b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 2 b ± 4 b 2 - 12 a c 2 a

Para que não existam pontos, essa equação não deve ter raízes e, para que isso aconteça, o delta ( ∆ = b 2 - 4 a c ) deve ser menor que zero!

Então:

∆ = 4 b 2 - 12 a c < 0

12 a c > 4 b 2

b 2 < 3 a c

Resolvendo a inequação, encontramos essas duas condições:

Supondo b positivo, resolvemos a desigualdade normalmente:

b < 3 a c

Supondo b negativo, temos que:

- b < 3 a c

b > - 3 a c

Isso ocorre para qualquer valor de d .

Resposta

(a) { a , b , c , d   ∈ R / b > 3 a c e b < - 3 a c }

(b) { a , b , c , d   ∈ R / b = 3 a c }

(c) { a , b , c , d   ∈ R / b > 3 a c e b > - 3 a c }

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Represente graficamente as curvas nos Exercícios 37-46Em que ponto os gráficos parecem ter tangentes verticais?Confirme as suas conclusões no item (a) com cálculos de limite. Mas, antes disso, leia a
Em que pontos os gráficos das funções no Exercícios 23 e 24 têm tangentes horizontais. g x = x 3 - 3 x
Em que pontos os gráficos das funções no Exercícios 23 e 24 têm tangentes horizontais. f x = x 2 + 4 x - 1
Represente graficamente as curvas nos Exercícios 37-46Em que ponto os gráficos parecem ter tangentes verticais?Confirme as suas conclusões no item (a) com cálculos de limite. Mas, antes disso, leia a
Represente graficamente as curvas nos Exercícios 37-46Em que ponto os gráficos parecem ter tangentes verticais?Confirme as suas conclusões no item (a) com cálculos de limite. Mas, antes disso, leia a