Enunciado

(a) Encontre f n ( x ) , se f x = x n , n = 1 ,   2 ,   3 ...

(b) Encontre f n ( x ) , se f x = x k , n > k , onde k é um número inteiro positivo.

(c) Encontre f n ( x ) se

f x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n

Passo 1

(a) Aqui, vamos pensar em uma coisa: qual o processo que nós fazemos ao calcular uma derivada? Por exemplo: derivada de x 2 . Baixamos o expoente, multiplicando, e diminuímos uma unidade dele, certo? Assim: 2 x 1 .

Agora, se a gente pega x 3 e derivamos ele na quantidade representada pelo seu grau, no caso, 3 vezes? A primeira derivada seria 3 x 2 , a segunda seria ( 2 ) ( 3 ) x e a terceira seria ( 2 ) ( 3 ) , ou seja, o x “some”, porque vira 1 na multiplicação, e ficam apenas as multiplicações dos expoentes, certo?

Ok, e com grau n , um x n ? Vai ser o mesmo processo!

Passo 2

Vamos fazer as primeiras derivadas pra você pegar a ideia da questão:

f x = x n

f ' x = n x n - 1

f ' ' x = n n - 1 x n - 2

f ' ' ' x = n n - 1 n - 2 x n - 3

E assim por diante. Mas lembra que quando derivamos ele na quantidade representada pelo seu grau, o x “some”, porque vira 1 na multiplicação, e fica apenas as multiplicações dos expoentes? Então, aqui é a mesma coisa! Quando chegarmos a f n ( x ) , teremos apenas as multiplicações. Ou seja, ficaria assim:

f ( n ) x = n n - 1 n - 2 n - 3 n - 4 … 1

Passo 3

(b) Usando as mesmas ideias da letra (a), mas agora estamos derivando além do grau de x .

Exemplo: queremos a quarta derivada de x 3 . A primeira derivada seria 3 x 2 , a segunda seria ( 2 ) ( 3 ) x , a terceira seria ( 2 ) ( 3 ) e a quarta, estaríamos derivando uma constante, porque já não tem mais x ali, ou seja, a quarta derivada seria 0 .

Então, se a gente pega:

f ( n ) x = n n - 1 n - 2 n - 3 n - 4 … 1

Que é uma constante, e deriva mais uma única vez sequer, teríamos 0 também!

Enfim, se f x = x k , k sendo um número inteiro positivo. Quando calculássemos o f n x ,com n > k , encontraríamos 0 :

f n x = 0

Passo 4

(c) O raciocínio dessa letra é o mesmo das anteriores, especialmente a (a), porque se tivermos:

f x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n

E começarmos a derivar, os coeficiente, a ’s, vão começar a sumir, pois são constantes. Enquanto isso, o termo a n x n vai passar pelo mesmo processo da letra (a), só que com um termo a mais, a n , agora. No fim das contas, depois de derivar n vezes essa função, todos os termos em que o x tem um grau menor que n terão sumido (viraram constantes que foram derivadas logo em seguida, pois derivamos além do seu grau igual na letra (b)) e sobrarão apenas as multiplicações dos expoentes devido a derivação do termo com x n , pelo mesmo raciocínio da letra (a) e o termo a n , que não some.

No fim do dia, ficamos com:

f ( n ) x = a n n n - 1 n - 2 n - 3 n - 4 … 1

Resposta

(a) f ( n ) x = n n - 1 n - 2 n - 3 n - 4 … 1

(b) f n x = 0

(c) f ( n ) x = a n n n - 1 n - 2 n - 3 n - 4 … 1

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