Encontre as coordenadas do centróide da curva:

x = cos t, y = t + sen t, 0 <= t <= pi .

Passo 1

E aí, galera! Mais uma questãozinha de centróide para a gente resolver, então, vamos lá!

Essa questão na verdade é bem parecida com a anterior, então vamos seguir mais ou menos o mesmo raciocínio. Vamos usar a fórmula

x ̄ = M y M ,   y ̄ = M x M

onde

M = ∫ 0 π d m

é a massa da curva e

M x = ∫ y ~   d m ,   M y = ∫ x ~   d m

são os momentos da curva em relação a x e y .

Vamos considerar que a densidade é δ = 1 , então

d m = 1 ⋅ d s = d x d t 2 + d y d t 2 d t

Então, a gente retorna para uma fórmula parecida com a de cálculo de comprimento da curva

M = ∫ 0 π d x d t 2 + d y d t 2 d t

Agora já temos tudo que é necessário para resolver a questão. Vamos lá, então!

Passo 2

Para usar as fórmulas do Passo 1, a primeira coisa que temos que fazer é calcular as derivadas

d x d t = d d t ( c o s   t ) =   - s e n   t  

d y d t = d d t ( t + s e n   t ) = 1 + c o s t  

Agora, a gente calcula a raiz quadrada:

d x d t 2 + d y d t 2 = ( - s e n   t ) 2 + ( 1 + c o s t ) 2  

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = s e n 2 t + c o s 2 t   + 2 c o s   t   + 1

⇒ d x d t 2 + d y d t 2 = 2 ( c o s   t   + 1 )

Pera aí que isso não ficou muito bonito. Como c o s 2 ( t / 2 ) = c o s   t   +   1 2 , então

d x d t 2 + d y d t 2 = 4 c o s 2 ( t / 2 ) = 2 c o s ( t / 2 )

Logo,

⇒ d m = 2 c o s ( t / 2 )   d t

Agora sim, podemos dar continuidade.

Passo 3

Agora, calculamos as integrais

M = ∫ 0 π d m   = 2 ∫ 0 π c o s   ( t / 2 )   d t

⇒ M = 2 ⋅ 2   s e n   ( t 2 ) | 0 π   =   4   ( 1   - 0 )   =   4

M x = ∫ y ~   d m = 2 ∫ 0 π ( t + s e n   t ) c o s ( t / 2 ) d t

⇒ M x = 2 ∫ 0 π t c o s ( t / 2 )   d t + 2 ∫ 0 π s e n   t c o s ( t / 2 ) d t

M y = ∫ x ~   d m = 2 ∫ 0 π ( c o s   t ) ⋅ c o s ( t / 2 ) d t

Vamos resolver as três últimas integrais no próximo passo.

Passo 4

Para resolver a primeira integral, precisamos usar integração por partes:

( i )   ∫ 0 π t c o s ( t / 2 )   d t = 2   t   s e n ( t / 2 ) | 0 π - 2 ∫ 0 π s e n   ( t / 2 )   d t

⇒   ∫ 0 π t c o s ( t / 2 )   d t = 2   π s e n ( π / 2 ) - 2   ⋅ 0 ⋅ s e n ( 0 ) + 4 c o s ( t / 2 ) | 0 π

⇒   ∫ 0 π t c o s ( t / 2 )   d t = 2 π + 4 c o s ( π / 2 ) - 4 c o s ( 0 ) = 2   π - 4

Para as outras duas integrais, precisamos das relações trigonométricas:

s e n   t = s e n ( t / 2 ) c o s ( t / 2 ) + c o s ( t / 2 ) s e n ( t / 2 ) = 2 s e n ( t / 2 ) c o s ( t / 2 )

e

c o s   t = c o s 2 ( t / 2 ) - s e n 2 ( t / 2 )   = 1 - 2 s e n 2 ( t / 2 )

Então,

( i i ) ∫ 0 π s e n   t c o s ( t / 2 ) d t   = 2 ∫ 0 π s e n ( t / 2 ) c o s 2 ( t / 2 ) d t  

Agora vamos fazer u   =   c o s ( t / 2 ) → d u = - 1 2 s e n ( t / 2 ) d t . Daí, temos que (lembrando de mudar também os limites de integração)

  2 ∫ 0 π s e n ( t / 2 ) c o s 2 ( t / 2 ) d t = - 4 ∫ 1 0 u 2 d u   =   4 ⋅ 1 3 u 3 | 0 1 =   4 3

⇒ 2 ∫ 0 π s e n   t c o s ( t / 2 ) d t = 4 3

Finalmente, vamos para a última integral

( i i i )   2 ∫ 0 π ( c o s   t ) ⋅ c o s ( t / 2 ) d t   =   2 ∫ 0 π 1 - 2 s e n 2 ( t / 2 ) c o s ( t / 2 ) d t

⇒ 2 ∫ 0 π ( c o s   t ) ⋅ c o s ( t / 2 ) d t   = 2 ∫ 0 π c o s ( t / 2 ) d t - 4 ∫ 0 π s e n 2 ( t / 2 ) c o s ( t / 2 ) d t

⇒ 2 ∫ 0 π ( c o s   t ) ⋅ c o s ( t / 2 ) d t   = 2 ⋅ 2   s e n ( t / 2 ) | 0 π - 4 ⋅ 2 ∫ 0 1   u 2 d u

onde utilizamos a seguinte substituição u   =   s e n ( t / 2 ) → d u = 1 2 c o s ( t / 2 ) d t e t   =   0   →   u = 0 ;   t   =   π   → u = 1 .

Por fim, temos o seguinte resultado

2 ∫ 0 π ( c o s   t ) ⋅ c o s ( t / 2 ) d t =   4 - 8 u 3 3 | 0 1   =   4 - 8 3 = 4 3  

Passo 5

Prontinho, agora podemos calcular os momentos e o centróide. Vem comigo!

M x = 2 ∫ 0 π t c o s ( t / 2 )   d t + 2 ∫ 0 π s e n   t c o s ( t / 2 ) d t = 4   π - 8 + 8 3

M x = 4   π + 8 - 24 3 = 4 π - 16 3

M y = ∫ x ~   d m = 2 ∫ 0 π ( c o s   t ) ⋅ c o s ( t / 2 ) d t = 4 3

Agora só falta dividir pela massa:

x ̄ = M y M = 4 3 4 = 1 3

  y ̄ = M x M = 4 π   -   16 3 4 = π - 4 3

Finalmente, hein? Bom, descansa um pouquinho aí e nos vemos na próxima!

Resposta

x ̄ = 1 3

y ̄ = π - 4 3

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