Enunciado

Encontre os comprimentos das curvas nos exercícios 21-28.

A curva r = 1 + s e n   2 θ ,   0 ≤ θ ≤ π 2 .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto, basta aplicarmos na formula do comprimento de uma curva polar:

L = ∫ α β r 2 + d r d θ 2 d θ

Vamos começar encontrando a derivada de r

d r d θ = d d θ 1 + s e n   2 θ = cos ⁡ 2 θ 1 + s e n   2 θ - 1 2

Passo 2

Agora só aplicar na fórmula, já temos os limites, então bora:

L = ∫ 0 π 2 1 + s e n   2 θ 2 + cos ⁡ 2 θ 1 + s e n   2 θ - 1 2 2 d θ

L = ∫ 0 π 2 1 + s e n   2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ 1 + s e n   2 θ d θ

L = ∫ 0 π 2 1 + 2 s e n   2 θ + s e n 2   2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ 1 + s e n   2 θ d θ

Da relação fundamental da trigonometria s e n 2 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ = 1

L = ∫ 0 π 2 1 + 2 s e n   2 θ + s e n 2   2 θ + 1 - s e n 2   2 θ 1 + s e n   2 θ d θ

L = ∫ 0 π 2 2 + 2 s e n   2 θ 1 + s e n   2 θ d θ

L = ∫ 0 π 2 2 ( 1 + s e n   2 θ ) 1 + s e n   2 θ d θ

L = ∫ 0 π 2 2 d θ

L = 2 θ 0 π 2

L = 2 π

Bora pra próximo.

Resposta

L = 2 π

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