Enunciado

Encontre as coordenadas polares, - π ≤ θ < 2 π e r ≤ 0 , dos pontos a seguir dados em coordenadas cartesianas.

3 2 , 1 2

Passo 1

Olá pessoal, espero que todos estejam bem e animados para este exercício. Vamos lá!

As equações que relacionam as coordenadas polares e cartesianas são:

Porém, as equações não determinam somente θ quando x e y são dados, porque à medida que θ aumenta no intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 π , cada valor de tg ⁡ θ ocorre duas vezes. Portanto, para transformar coordenadas cartesianas em coordenadas polares, não é apenas suficiente encontrar r e θ , devemos escolher θ de modo que o ponto r ,   θ esteja no quadrando correto.

Por exemplo, o ponto 1 ,   - 1 está no quarto quadrante, e através das equações descobrimos que θ = π / 4 , que pertence ao primeiro quadrante, então podemos escolher θ = - π / 4 ou θ = 7 π / 4 .

Sabendo disso, o enunciado nos fornece os seguintes dados:

x = 3 2 y = 1 2

Então primeiro conseguimos calcular o valor do raio:

r = x 2 + y 2

r = 3 2 2 + 1 2 2

r = 3 4 + 1 4

r = ± 1

O enunciado nos diz que r ≤ 0 , logo:

r = - 1

Passo 2

Então conseguimos calcular θ :

tg ⁡ θ = y x

tg ⁡ θ = 1 2 3 2 = 1 2 ∙ 2 3

θ = tg - 1 ⁡ 1 3

θ = 7 π 6

Logo nossa coordenada polar será - 1 ,   7 π 6 .

Resposta

- 1 , 7 π 6

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