Enunciado

Encontre as coordenadas de todos os pontos no gráfico de y = 1 - x 2 nos quais a reta tangente passa pelo ponto ( 2,0 ) .

Passo 1

Beleza, vamos achar qual a reta que passa pelo ponto ( 2,0 ) aqui. Para isso, vamos usar a seguinte equação da reta e perceber que, se ela é tangente à curva y = 1 - x 2 , a inclinação dela deve ser igual à derivada da curva no ponto em que elas se tocam:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Como queremos que passe pelo ponto ( 2,0 ) :

y - 0 = m ( x - 2 )

y = m x - 2

Onde m é a derivada da curva y = 1 - x 2 num ponto arbitrário ( x 0 , y 0 ) , que é o ponto onde a reta será tangente à curva, ou seja, onde a reta e a curva se tocam, logo:

y = 1 - x 2

y ' = - 2 x

No ponto x = x 0 :

y ' = - 2 x 0

Substituindo na equação da reta:

y = - 2 x 0 x - 2 = - 2 x 0 x + 4 x 0

Essa é a equação da reta que passa pelo ponto ( 2,0 ) e também é tangente à y = 1 - x 2 , em um ponto ( x 0 , y 0 ) , que iremos descobrir qual(is) é(são).

Passo 2

Bom, então ( x 0 , y 0 ) é um ponto em comum tanto à curva y = 1 - x 2 quanto à reta y = - 2 x 0 x + 4 x 0 , ou seja, quando x = x 0 nas duas funções, o valor de y das duas deve coincidir (deve ser o y 0 )! Vamos substituir x por x 0 e igualar as duas equações:

y 0 = 1 - x 0 2

E

y 0 = - 2 x 0 2 + 4 x 0

Igualando o y 0 :

1 - x 0 2 = - 2 x 0 2 + 4 x 0

Arrumando esse cara:

x 0 2 - 4 x 0 + 1 = 0

Opa, equação de segundo grau.... Bhaskara neles:

- b ± b 2 - 4 a c 2 a = 4 ± 16 - 4 2 =

= 4 ± 2 3 2 = 2 ± 3

Resolvendo esse cara, encontramos as raízes:

2 + 3

E

2 - 3

Que são justamente os valores que x 0 , nosso ponto em que a reta toca na curva, pode assumir! E se já temos os valores de x 0 , podemos achar os valores de y 0 . Só substituir os x 0 ’s em y = 1 - x 2 , por exemplo.

Passo 3

Substituindo os pontos...

O primeiro valor de y 0 , será quando x 0 = 2 + 3 :

y = 1 - x 2

y 0 = 1 - 2 + 3 2 = 1 - 4 - 4 3 - 3

y 0 = - 6 - 4 3

Então, nossa primeira resposta é o ponto ( 2 + 3 , - 6 - 4 3 ) .

O segundo valor de y 0 , será quando x 0 = 2 - 3 :

y = 1 - x 2

y 0 = 1 - 2 - 3 2 = 1 - 4 + 4 3 - 3

y 0 = - 6 + 4 3

Então, nossa segunda resposta é o ponto ( 2 - 3 , - 6 + 4 3 ) .

Com isso, finalmente chegamos aos dois pontos ao longo de y = 1 - x 2 em que a reta tangente à essa curva nesse ponto também passa em ( 2,0 ) . Ufa!

Resposta

( 2 + 3 , - 6 - 4 3 ) e ( 2 - 3 , - 6 + 4 3 ) .

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