Enunciado

O gráfico de f x = x 2 sin ⁡ 1 x 0 ,   x ≠ 0 x = 0 tem uma tangente na origem? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos começar lembrando da equação para determinar o coeficiente angular da curva no ponto indicado:

m = lim h → 0 ⁡ f x 0 + h - f x 0 h

Passo 2

Substituindo o valor de x

m = lim h → 0 ⁡ f 0 + h - f 0 h

m = lim h → 0 ⁡ f h - f 0 h

Como f 0 = 0 e f h = h 2 sin ⁡ 1 h

m = lim h → 0 ⁡ h 2 sin ⁡ 1 h - 0 h

m = lim h → 0 ⁡ h 2 sin ⁡ 1 h h

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h , ok?

m = lim h → 0 ⁡ h sin ⁡ 1 h

Substituindo h = 0 , vemos que não dá muito bom:

m = m = lim h → 0 ⁡ h sin ⁡ 1 h = 0 sin ⁡ 1 0

Passo 4

Para resolver esse problema podemos aplicar o Teorema do sanduíche. Como a função sin ⁡ x é uma função periódica que varia 1 a - 1 , podemos concluir que

- 1 ≤ sin ⁡ 1 h ≤ 1

Se multiplicarmos todos os termos por h temos

- h ≤ hsin ⁡ 1 h ≤ h

Depois aplicamos limites em todos os termos

lim h → 0 ⁡ - h ≤ lim h → 0 ⁡ h sin ⁡ 1 h ≤ lim h → 0 ⁡ h

Agora vamos substituir h = 0 nos termos das pontas

0 ≤ lim h → 0 ⁡ h sin ⁡ 1 h ≤ 0

Logo,

m = lim h → 0 ⁡ h sin ⁡ 1 h = 0

Passo 5

Lembrando que a equação da tangente é

y - f a = m x - a

Como o exercício pergunta se função tem tangente na origem

y - 0 = 0 x - 0

y = 0

Logo, f x possui tangente na origem.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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