Encontre dy/dx por derivação implícita.

2x^3 + x^2y - (xy)^3 = 2

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão qure que calculemos a derivada d y d x da seguinte equação utilizando derivação implícita:

2 x 3 + x 2 y - x y 3 = 2

Para isso, devemos derivar ambos os lados da equação e fazer algumas manipulações de forma que isolemos a derivada d y d x (ou y ' ).

Se ainda não entendeu, vamos juntos que vai ficar melhor!! 😉

Agora bora lá!!

Passo 2

Primeiro passo é derivar ambos os lados da função em relação a x , assim:

d d x ( 2 x 3 + x 2 y - x y 3 ) = d d x ( 2 )

Como a derivada da constante é zero, ficamos com:

d d x ( 2 x 3 + x 2 y - x y 3 ) = 0

Isso nos deixa com a equação:

6 x 2 + x 2 ⋅ y ' + y ⋅ 2 x - ( x ⋅ 3 y 2 y ' + y 3 ⋅ 1 ) = 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar y ' :

Primeiro vamos organizar a expressão, até isolarmos y ' , então,

x 2 ⋅ y ' - 3 x y 2 y ' = - 6 x 2 - 2 x y + y 3

Assim,

( x 2 - 3 x y 2 ) y ' = - 6 x 2 - 2 x y + y 3

E isso nos dá que:

y ' = - 6 x 2 - 2 x y + y 3 x 2 - 3 x y 2

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' = - 6 x 2 - 2 x y + y 3 x 2 - 3 x y 2

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