Encontre dy / dx por derivação implícita.

tg^3(xy^2 + y) = x

Passo 1

Primeiro vamos usar derivação implícita, nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:

d d x tg 3 ⁡ x y 2 + y = d d x x

3 tg 3 - 1 ⁡ x y 2 + y d d y tg ⁡ x y 2 + y = 1

3 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y d d y x y 2 + y = 1

3 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y 1 ⋅ y 2 + x ⋅ 2 y 2 - 1 d y d x + d y d x = 1

3 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y y 2 + 2 x y d y d x + d y d x = 1

Passo 2

Agora vamos reorganizar, vamos deixar o d y d x no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

3 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y y 2 + 2 x y d y d x + d y d x = 1

3 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y y 2 + 2 x y ⋅ 3 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y d y d x + 3 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y d y d x = 1

3 y 2 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y + 6 x y tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y d y d x + 3 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y d y d x = 1

d y d x 6 x y tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y + 3 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y = 1 - 3 y 2 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y

d y d x = 1 - 3 y 2 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y 6 x y tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y + 3 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y

Pronto, encontramos d y d x por derivação implícita!!

Resposta

d y d x = 1 - 3 y 2 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y 6 x y tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y + 3 tg 2 ⁡ x y 2 + y sec 2 ⁡ x y 2 + y

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