Encontre dy / dx por derivação implícita.

x \* y^3 / (1 + sec(y)) = 1 + y^4

Passo 1

Primeiro vamos manipular um pouco a expressão para ficar mais simples de derivar:

x y 3 1 + sec ⁡ y = 1 + y 4

x y 3 = 1 + sec ⁡ y 1 + y 4

Pronto, agora para usar derivação implícita nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:

d d x x y 3 = d d x 1 + sec ⁡ y 1 + y 4

1 ⋅ y 3 + x ⋅ 3 y 3 - 1 ⋅ d y d x = 0 + sec ⁡ y tg ⁡ y d y d x 1 + y 4 + 1 + sec ⁡ y 0 + 4 y 4 - 1 d y d x  

y 3 + 3 x y 2 d y d x = sec ⁡ y tg ⁡ y d y d x 1 + y 4 + 4 y 3 d y d x 1 + sec ⁡ y  

Passo 2

Agora vamos reorganizar, vamos deixar o d y d x no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

y 3 + 3 x y 2 d y d x = sec ⁡ y tg ⁡ y d y d x 1 + y 4 + 4 y 3 d y d x 1 + sec ⁡ y

3 x y 2 d y d x - sec ⁡ y tg ⁡ y d y d x 1 + y 4 - 4 y 3 d y d x 1 + sec ⁡ y = - y 3

d y d x 3 x y 2 - sec ⁡ y tg ⁡ y 1 + y 4 - 4 y 3 1 + sec ⁡ y = - y 3

d y d x = - y 3 3 x y 2 - sec ⁡ y tg ⁡ y 1 + y 4 - 4 y 3 1 + sec ⁡ y

Pronto, encontramos d y d x por derivação implícita!!

Resposta

d y d x = - y 3 3 x y 2 - sec ⁡ y tg ⁡ y 1 + y 4 - 4 y 3 1 + sec ⁡ y

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados