Encontre d^2y / dx^2 por derivação implícita.

2x^2 - 3y^2 = 4

Passo 1

Primeiro vamos usar derivação implícita, nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:

d d x 2 x 2 - 3 y 2 = d d x 4

2 ⋅ 2 ⋅ x 2 - 1 - 3 ⋅ 2 ⋅ y 2 - 1 d y d x = 0

4 x - 6 y d y d x = 0

Passo 2

Agora vamos reorganizar, vamos deixar o d y d x no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

4 x - 6 y d y d x = 0

6 y d y d x = 4 x

d y d x = 4 x 6 y

Passo 3

Agora vamos derivar novamente para termos d 2 y d x 2 , da mesma forma que no passo 1 :

d d x d y d x = d d x 4 x 6 y

d 2 y d x 2 = 4 ⋅ 6 y - 4 x ⋅ 6 d y d x 6 y 2

d 2 y d x 2 = 24 y - 24 x d y d x 36 y 2

Acabamos ficando com d y d x na resolução, vamos então substituir d y d x = 4 x 6 y :

d 2 y d x 2 = 24 y - 24 x d y d x 36 y 2

d 2 y d x 2 = 24 y - 24 x ⋅ 4 x 6 y 36 y 2

d 2 y d x 2 = 24 y - 96 x 2 6 y 36 y 2

d 2 y d x 2 = 144 y 2 - 96 x 2 6 y 36 y 2

d 2 y d x 2 = 144 y 2 - 96 x 2 6 y ⋅ 1 36 y 2

d 2 y d x 2 = 24 y 2 - 16 x 2 36 y 3

d 2 y d x 2 = 6 y 2 - 4 x 2 9 y 3

d 2 y d x 2 = - 2 - 3 y 2 + 2 x 2 9 y 3

Passo 4

E agora vamos lembrar a expressão inicial 2 x 2 - 3 y 2 = 4 , ela aparece no nosso resultado, vamos substituir o seu valor nele:

d 2 y d x 2 = - 2 - 3 y 2 + 2 x 2 9 y 3

d 2 y d x 2 = - 2 ⋅ 4 9 y 3

d 2 y d x 2 = - 8 9 y 3

Pronto, encontramos d 2 y d x 2 por derivação implícita!!

Resposta

d 2 y d x 2 = - 8 9 y 3

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