Enunciado

Nos Exercícios 31-40, verifique se o ponto dado faz parte da curva e determine as retas que são (a) tangentes e (b) normais à curva no ponto dado.

32. x 2 + y 2 = 25 ,     3 , - 4

Passo 1

Para verificar se o ponto faz parte da curva só precisamos substituir as coordenadas na função:

x 2 + y 2 = 25 ,     3 , - 4

( 3 ) 2 + ( - 4 ) 2 = 25

9 + 16 = 25

25 = 25

Portanto o ponto faz parte da curva.

Passo 2

a.

A reta tangente tem como inclinação o valor da derivada naquele ponto.

Derivando implicitamente a função:

2 x + 2 y y ' = 0

2 y y ' = - 2 x

y ' = - x y

O coeficiente angular da reta, tangente à função, no ponto 3 , - 4 , vale:

y ' = - ( 3 ) ( - 4 )

y ' = m = 3 4

A reta tem sua equação da forma:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - ( - 4 ) = 3 4 ( x - 3 )

y = 3 4 x - 9 4 - 4

y = 3 4 x - 25 4

Passo 3

b.

A linha normal vai ter o mesmo ponto em comum.

Entretanto seu coeficiente angular irá ser oposto e inverso ao coeficiente angular da reta tangente, pois as retas são perpendiculares. Vamos mostrar o porquê disso.

Imagine duas retas r e s perpendiculares:

A tg ⁡ β e a tg ⁡ ( β + 90 ° ) são os coeficientes agulares das retas s e r , respectivamente.

Vamos calcular o valor de tg ⁡ ( β + 90 ° ) usando as fórmulas de adição estudada no Capitulo 1:

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ ( β + 90 º ) cos ⁡ ( β + 90 º )

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ β cos ⁡ 90 ° + sen ⁡ 90 ° cos ⁡ β cos ⁡ β cos ⁡ 90 ° - sen ⁡ β sen ⁡ 90 °

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ β 0 + 1 cos ⁡ β cos ⁡ β 0 - sen ⁡ β 1

tg ⁡ β + 90 ° = cos ⁡ β - sen ⁡ β

tg ⁡ β + 90 ° = - 1 tg ⁡ β

Ou seja:

m r = - 1 m s

Pronto agora que a gente tem certeza que os coeficientes angulares das retas perpendiculares são opostos e inversos, vamos continuar calculando a equação da reta normal:

y - ( - 4 ) = - 4 3 ( x - 3 )

y = - 4 3 x + 4 - 4

y = - 4 3 x

Resposta

O ponto faz parte da curva.

a. y = 3 4 x - 25 4

b. y = - 4 3 x

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